Bestimmen der Steigung m einer Geraden
Definition der Steigung:
m := (y2 - y1) / (x2 - x1)
Im Koordinatensystem kann man an einem Grapgen eine Einheit nach rechts gehen; dia Anzahl der Einheiten nach oben oder unten bis zum Graphen gibt dann die Steigung des Graphen an (d.h. für x2-x1=1 ist m=y2-y1).
Erstellen einer Geraden aus zwei Punkten
Der erste Punkt ist der Schnittpunkt mit der y-Achse (0 | b), der zweite Punkt ergibt sich, indem man wie in der Dokumentation beschrieben von (0 | b) ausgeht und m = m / 1 = (delta)x / (delta) y.
Schnittpunkt mit der y-Achse
y wird gleich 0 gesetzt, weil die y-Koordinate des gesuchten Punktes 0 ist: Sx (x | 0). Die Gleichung enthält dann nur noch eine Unbekannte und kann zu x = - (b / m) für m = 0 aufgelöst werden.
Beispiele für weitere Funktionen
Die Funktion f(x) = e ^ x ist eine Potenzfunktion zur Basis e, die entsprechende
Umkehrfunktion ist f(x) = ln (x).
Nachschauen über e^x, ln(x)
Gleichungen . B Quadratische Gleichungen
Lösungen der Gleichungen
x ^ 2 = 4 <=> x1 = 2 v x2 = -2
x ^ 2 = 0 <=> x = 0
x ^2 = -4 <=> keine Lösung
Quadratische Gleichungen können also keine,
eine oder zwei Lösungen haben.
x ^ 2 - 2x - 24 = 0
Verfahren der quadratischen Ergänzung
in der Normalform (!) x ^ 2 + px + q = 0 ergänzt man die Hälte des Koeffizienten vor x (p) zum Quadrat (da px = 2ab nach der 1. binomischen Formel) und zieht diese Zahl sofort wieder ab, um eine äquivalente Gleichung zu erhalten. Somit hat man zum vollständigen Quadrat ergänzt:
x ^ 2 - 2x - 24 = 0
<=> x ^ 2 - 2x + 1 - 1 -24 = 0
<=> (x - 1) ^ 2 - 25 = 0
<=> (x - 1) ^ 2 = 25 | SQRT
<=> x - 1 = + / - 5
<=> x1 = 1 + 5 = 6 v x2 = 1 -5 = -4
Die quadratische Ergänzung und in allgemeiner Form die pq-Formel können nur auf die Normlform angewndt werden. Allgemein gibt es die abc-Formel für Formeln in allgemeiner Form ax^2 + bx + c = 0. Siehe Formelsammlung. Diese Form ist allerdins komplizierter ...
pq-Formel lernen
Quadratische Gleichungen mit q = 0
x^2 + px = 0
<=> x (x + p) = 0
<=> x1 = 0 v x2 = -p
Eine Nullstelle von Gleichungen dieser Form ist immer 0, eine Nullstelle x + p = 0 <=> x = -p, denn »ein Produkt ist Null, wenn ein Faktor null ist«. Dies ist eine einfachere Möglichkeit zum Lösen solcher Gleichungen, jedoch ist natürlich auch die pq-Formel anwendbar.
Gleichungen . C Bruchgleichungen
Lösungsverfahren:
3 / (x - 1) = 5 / (x - 7)
D = R \ {1; 7}
[3 / (x - 1)] / [(x - 1) (x - 7)] = [5 (x - 1)] / [(x - 1) (x - 7)] | mit (x - 1) (x - 7) multiplizieren
3x - 21 = 5x - 5
-16 = 2x
x = -8
Beispiel:
D = R \ {3}
1 / (x - 3) = 2 / (x - 3) |
^(-1)
x - 3 = (x - 3) / 2
2x - 6 = x - 3
x = 3 keine Lösung!
Gleichungen . D Wurzelgleichungen
Beispiel: 2 Gleichungenmit 2 Unbekannten
2x - 5y = 19
x + 10y = -28
Mögliche Lösungsverfahren: Additionsverfahren, Einsetzungsverfahren, Gleichsetzungsverfahren. Ziel ist es jeweils, Gleichungen mit nur einer Unbekannten zu erhalten.
1. Additionsverfahren
2x - 5y = 19
+ -2x - 20y = 56 (mit 2 durchmultipliziert)
------------------------
0x - 25y = 75
-25y = 75
y = -3
und einsetzen in eine Ausgangsgleichung:
x - 10y = -28 mit y = -3
<=> x = -28 + 30 = 2
Das Gaußsche Eleminationsverfahren ist nur eine besondere Schreibweise des Additionsverfahrens.
2. Einsetzungsverfahren
Eine Gleichung zu x auflösen, hier die zweite:
x = -28 - 10y
und einsetzen in die andere Gleichung:
2x - 5y = 19 mit x = -28 - 10y
=> 2 (-28 - 10y) - 5y = 19
<=> -25y = 75
<=> y = -3
Beim EInsetzungsverfahren muss nicht nach x aufgelöst werden, es kann z.B. auch 2x eingestezt werden, wenn sich dies anbietet.
3. Gleichsetzungsverfahren
(hier mit anderem Beispiel)
Die Gleichungen müssen zu einer Variablen umgestellt sein oder werden:
y = 2x + 1
y = 3x + 2
Gleichsetzen:
=> 2x + 1 = 3x + 2
<=> -x = 1
<=> x = -1
und x in eine Ausgangsgleichung einsetzen:
y = 2x + 1 mit x = -1
y = -2 + 1 = -1
Logarithmen . A Definition
Durch Wurzelziehen löst man Gleichungen der Form x ^b = a nach x auf.
Durch Logarithmieren löst man Gleichungen der Form b ^x = a (a,b aus R+) nach x auf. x ist in dieser Gleichung der »Logarithmus von a zur Basis b« x = log b (a), d.i. diejenige Zahl, mit der man b potenzieren muss, um a zu erhalten.
Die Logarithmusfunktion ist die Umkehrfunktion
der Potenzfunktion, wie auch
die Wurzelfunktion die Umkehrung von Funktionen
der Form f(x) = x ^n ist.
Beispiel (x- und y-Werte werden aufeinander und
zurück abgebildet)
f(x) = 2 ^x => f(3) = 8
f(x) = log 2 (x) => f(8) = 3
log 4 (16) = 2, denn 4 ^2 = 16
log 2 (1024) = 10, denn 2 ^10 = 1024
Durch diesen Gedankengang »mit welcher Zahl muss ich die gegebene Basis potenzieren, um die gegebene Zahl zu erhalten?« erhält man den Logarithmus (ohne Taschenrechner durch Raten). Man kann zur Hilfe einen zu berechnenden Logarithmus log b (a) = x in eine äquvalente Potenzgleichung b ^x = a umstellen, um x im Kopf zu berechnen.
Besondere Logarithmen
log b (1) = 0 , denn b ^0 = 1 für jedes b
log b (1) = 1 , denn b ^1 = 1
log b (b ^n) = n, denn b ^n = b ^n
log b (1/b) = -1 , denn b ^(-1) = 1/b
Um Logarithmen von etwas zu berechnen, sollte das Argument in Potenzen umgewandelt werden, wenn es aus Brüchen oder Wurzeln besteht, denn sonst ist die Berechnung nicht offensichtlich.
log 3 (SQRT (3) ) = log 3 (3 ^(1/2)) = 1/2 , denn 3 ^(1/2) = 3 ^(1/2)
Bezeichnungen
(nur Ergänzungen)
log 10 (x) = lg (x), auf dem Taschenrechner log
(x)
Logarithmen . B Logarithmengesetze
L4: log b (x ^y) (Anwendng von L2:)
= log b (x) + ... + log b (x) (mit
y Summanden)
= y log b (x)
Auch für:
log b (n.RT (a)) = log b (a ^(1/n)) = 1/n log
b (a)
e ^(ln x) = x , denn ln x ist gemäß der Defiition des Logarithmus die Zahl, mit der man e potenzieren muss, um x zu erhalten.
Berechnen von Logarithmen zu beliebiger Basis mit dem Taschenrechner »Umrechnen eines Logarithmus zur Basis b in einen zur Basis c« in Logarithmengesetze. Für c wählt man passend zum Taschenrechner 10 oder e, also den Logarithmus lg, ln.
Trigonometrie, Vektorbegriff . A Trigonometrie
Zur Zeichnung:
A, B: Katheten
C: Hypothenuse
Der Satz des Pythagoras gilt in rechtwinkligen Dreiecken: a ^2 + b ^2 = c ^2
Innenwinkelsatz in Dreiecken: alpha + beta + gamma = 180°
(alles Folgende gilt im rechtwinkligen Dreieck mit gamma = 90°)
Die einem betrachteten Winkel gegenüberliegende Kathete ist die Gegenkathete, die andere die Ankathete.
Definition
sin (alpha) = G / H = a / c
cos (alpha) = A / H = b / c
tan (alpha) = G / A = a / b
cot (alpha) = A / G = b / a
Beobachtungen
sin (alpha) / cos (alpha) = (a/c) / (b/c) = ac
/ bc = a / c = tan (alpha)
sin (beta) = b / c = cos (alpha)
mit beta = 180° - 90° - alpha wird
sin (beta) = sin (90° - alpha) = cos (alpha)
cos (90° - alpha) = cos (beta) = a / c = sin (alpha)
In einem Dreieck mit c = 1:
sin (alpha) = a / c = a
cos (alpha) = b / c = b
in den Satz des Pythagoras a ^2 = b ^2 + c ^2:
sin ^2 (alpha) + cos ^2 (alpha) = 1 (Wichtig
zur Vereinfachung von Formeln)
In einem gleichschenkligen, rechtwinkligen Dreieck mit gamma = 90°, alpha = beta = 45° (siehe Zeichnung):
Wichtige sin- und cos- Werte
| sin | cos | sin | |
| 0° | 0 | 1
aus cos (alpha) = sin (90° - alpha) |
|
| 30° | 1/2 | SQRT(3) / 2 | (Wurzel 1) / 2 |
| 45° | SQRT(2) / 2 | SQRT(2) / 2 | (Wurzel 2) / 2 |
| 60° | SQRT(3) / 2 | 1/2 | (Wurzel 3) / 2 |
| 90° | 1 | 0
aus cos (alpha) = sin (90° - alpha) |
(Wurzel 4) / 2 |
Das gleichseitige Dreieck (siehe Zeichnung)
sin (30°) = (a/2) / a = 1/2
cos (30°) = h / a = (SQRT(3) / 2 *a) / a
= SQRT(3) / 2 (warum?)
Sätze und Formeln über sin und cos (in beliebigen Dreiecken)
Der Einheitskreis
sin (alpha) = a / c = a
Der sin (alpha) kann also einfach als eine Strecke
abgelesen werden.
cos (alpha) = b / c = b
Der cos (alpha) kann also einfach als eine Strecke
abgelesen werden.
tan (alpha) = a / b = d / 1 = d
Der tan (alpha) kann also einfach als eine Strecke
abgelesen werden.
Am Einheitskreis kann zu jedem Winkel 0° <= alpha <= 360° ein sin (alpha) abgetragen und abgelesen werden. Diese Wertepaare ergeben, aufgetragen in einem Diagramm, die Sinusfunktion. Die Sinusfunktion verläuft periodisch mit einer Periode von 2Pi = 360°.
Der Graph von f(x) = cos (x) ist gegenüber f(x) = sin (x) um Pi/2 = 90° nach links verschoben (zeichnen!), denn cos (alpha) = sin (90° - apha) = sin (-alpha + 90°). (EIgentlich: an der x-Achse gespiegelt, dann um Pi/2 nach rechts verschoben.
Der Graph von tan (alpha): (zeichnen!)
Nach tan (alpha) = sin (alpha) / cos (alpha)
hat tan (alpha) dieselben Nullstellen wie sin (alpha). An den Nullstellen
von cos (alpha) ist tan (alpha) nicht definiert, hat hier eine Polstelle
(d.h. der Graph verläuft gegen +/- unendlich).
Um bei Graphen trigonometrischer Funktionen gegen reelle Zahlen und nicht gegen Winkel aufzutragen, gilt folgende Umsetzung von Winkeln zu reellen Zahlen am Einheitskreis (r = 1): zu jedem Winkel gehört eine Sehne am Kreis, d.i. ein Teil des Kreisumfangs. 360° wird also U=2*Pi*r=2Pi zugeordnet usw. Umrechnungsformel von Bogenmaß ins Winkelmaß: alpha / 360° = x / 2Pi (gleiches Verhältnis eines Teils zum Ganzen in Bogen- und Winkelmaß). Bei Berechnung mit Taschenrechner das richtige Winkelmaß einstellen und Zahlen in diesem Winkelmaß eingeben!
Trigonometrie, Vektorbegriff . B Vektorbegriff
Definition
Ein n-dimensionaler Vektor ist ein spaltenweise
geschriebenes Zahlen-n-Tupel.
/a1\
-> |a2|
a = |a3|
|..|
\an/
Addition und Subtraktion geschehen komponentenweise. (siehe Blatt).
Multiplikation von Vektoren: es gibt nur die Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl (»Skalar«), nicht die von zwei Vektoren. Die Skalarmultiplikation geschieht auch komponentenweise.
Geometrische Interpretation von Vektoren
Ein Vektor
-> /a1\
a = \a2/
zeigt vom Ursprung auf den Punkt P (a1|a2).
Vektoren sind durch ihre Länge und ihre Richtung eindeutig bestimmt. Vektoren lassen sich verschieben, ohne dass ihre Komponenten ändern; sie bleiben immer noch derselbe Vektor. Zum Beispiel ist das Verschieben von Vektoren beim Addieren nötig:
geometrische Addition von Vektoren
Dies geschieht durch Anhängen des zweiten Vektors an die Spitze des ersten, wozu eine Verschiebung nötig ist. Die Strecke vom Ursprung zur Spitze des Vektorpfades ist der Summenvektor. Siehe Zeichnung.
geometrische Subtraktion von Vektoren
Die Subtraktion ist eine Addition mit dem Gegenvektor, d.h. einem Vektor, der in die etgegengesetzte Richtung zeigt.
-> -> ->
->
a - b = a + (-b)
geometrische Skalarmultiplikation von Vektoren
Der Vektor wird um den Skalarfaktor gestreckt / gestaucht, seine Länge verändert sich jedoch nicht. Die Richtung wird durch den Skalarfaktor -1 umgekehrt.
Der Betrag eines Vektors
Der Betrag eines Vektors ist eine positive skalare Maßzahl seiner Länge. Die Berechung geschieht durch den Satz des Pythagoras:
/a1\
-> |a2|
a = |a3|
|..|
\an/
|/a1\|
-> ||a2||
|a| = ||a3|| = SQRT (a1 ^2 + ... + an ^2)
||..||
|\an/|
Einführung in Differential- und Integralrechnung . A Folgen und Funktionen
Durch Funktionsuntersuchung (Berechnung der charakteristischen Punkte: Nullstellen, Hoch- und Tiefpunkte, Wendepunkte) erhält man die Möglichkeit, Kurven beliebiger Funktionen zu zeichenne. Dies ist auchdurch eine Wertetabelle möglich, bleibt jedoch bei wenigen Wertepaaren ungenau.
Verhalten gegen +/- unendlich
Man erkennt hier, welcher Funktion der Funktionsgraph für sehr große oder sehr kleine x-Werte ähnelt; bei Polynomen ist dazu immer die höchste Potenz von x die »charaktergebende« Funktion.
Steigung
Die Steigung von Geraden lässt sich mit dem Steigungsdreieck berechnen (s.o.), die Steigung von Kurven in einem Punkt über die Steigung der Geraden in diesem Punkt.
Die Fuktion, die jeder Stelle x Element Df die Steigung der Tangente im Punkt ( x | f(x) ) zuordnet, heißt Ableitung von f(x). Bezeichnung: f'(x).
Beispiel: siehe Blatt
Extrempunkte von f(x) haben waagerechte Tangenten (m = 0), d.h. die Extremstellen von f(x) sind Nullstellen von f'(x).
Wendepunkte von f(x) sind Punkte mit in der unmittelbaren Umgebung betragsmäßig größter oder kleinster (z.B. Sattelpunkte) Steigung. Wendestellen von f(x) sind Extremstellen von f'(x).
Sattelpunkte sind Wendepunkte, an denen zusätzlich die Steigung 0 ist.
Nullstellen eines Polynoms
f(x) = x ^3 - x ^2 - x +1
Dazu setzt man ein Polynom gleich 0:
x ^3 - x ^2 - x +1 = 0
Hier muss man die erste Nullstelle (x1 = -1) raten. Anschließend Polynomdivision:
(x ^3 - x ^2 - x +1) : (x+1) = x ^2 - 2x + 1
-(x ^3 + x ^2)
--------------
- 2x ^2
-(- 2x ^2 - 2x)
---------------
x + 1
x + 1
Durch die Polynomdivisionerhält man eine sukzessive Linearfaktorzerlegung:
x ^3 - x ^2 + 1 = (x ^2 - 2x + 1) (x + 1)
Die Nullstellen eines Polynoms zweiten Grades erhält man dann durch die pq-Formel.
Ableitungen
1. Potenzregel
f(x) = x ^n
f'(x) = n x ^(n-1)
für alle n aus R.
Beispiele:
f(x) = x ^2
f'(x) = 2 x (gut zur graphischen Veranschaulichung dieser
Ableitungsregel)
f(x) = x ^17
f'(x) = 17 x ^16
f(x) = SQRT(x)
f'(x) = (1/2) x ^(-1/2) = 1 / (2* SQRT(x))
f(x) = 1 / (x ^7) = x ^(-7)
f'(x) = -7 x ^(-8)
2. Faktorregel
(a f(x))' = a f'(x)
Beispiele:
f(x) = 3x ^2
f'(x) = 3 * 2x = 6x
3. Summenregel
(f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x)
Beispiele:
f(x) = x ^3 + x ^17
f'(x) = 3 x ^2 + 17 x ^16
4. Produktregel
(f(x) × g(x))' = f'(x) × g(x) + f(x) × g'(x)
5. Quotientenregel
(f(x) / g(x) )' = (f'(x) × g(x) - f(x) × g'(x)) / g^2(x)
6. Kettenregel
[f (g(x))]' = f'(g(x)) × g'(x)
Beispiel für die Verknüpfung der ersten drei Regeln:
f(x) = 5x ^3 + 2x + - (7/x ^2) + 2 SQRT(x) + 3
f'(x) = 15x ^2 + 2 -7 (-2) (1/x ^3) + 2 (1 / 2*SQRT(x)) +
0
= 15x ^2 + (14 / x ^3) + (1 / SQRT(x))
+ 2
Die erste Ableitung einer Funktion f(t) nach der Zeit t wird geschrieben als f(t) mit Punkt über f.
Die Notierung
df
f'(x) = --
dx
heißt, dass der Term df (Funktionsterm) nach x abgeleitet werden
soll. Begründung?
Nicht-stetige Funktionen (Lücken; kann nicht ohne Absetzen gezeichnet werden,z.B. 1/x) oder nicht-differenzierbare Funktionen (mit Ecken, wie die V-förmige Bragg-Funktion; an den Ecken kann keine Tangente angegeben werden, d.h. keine Steigung oder Wertd er Ableitung) kann nicht ohne weiteres mit diesen Ableitungsregeln die Kurvendiskussuion durchgeführt werden. Hier muss ggf. der Wertebereich eingegrenzt werden.
Wichtiger Ableitungen
f(x) = x ^n
f'(x) = n x ^(n-1)
F(x) = 1/(n+1) x ^(n+1)
f(x) = e ^x
f'(x) = e ^x
F(x) = e ^x
f(x) = ln(x)
f'(x) = 1/x
F(x) = x ln(x) -x
f(x) = sin (x)
f'(x) = cos(x)
F(x) =
f(x) = cos (x)
f'(x) = - sin (x)
F(x) = sin(x)
Einführung in Differential- und Integralrechnung . C Elementare Integralrechnung
Ansatz ist hier: Die Fläche unter einer Kurve kann in viele Rechtecke aufgeteilt werden, die mit eier Ecke die Kurve berühren und unter der Kurve liegen (Untersumme) oder über der Kurve liegen (Obersumme). Je kleiner man die Rechtecke wählt, desto genauer wird der Flächeninhalt unter der Kurve als Summe der Flächeninhalte der Rechtecke berechenbar.
Damit sich die Flächeninhalte ober- und unterhalb der x-Achse nicht gegenseitig »aufschlucken«, darf nicht über Nullstellen hinweg integriert werden.
Hauptsatz der Integral- und Differentialrechnung
(siehe Blatt)
Die Stammfunktion F(x) ist aus f(x) nicht eindeutig bestimmbar, denn die sog. Integrationskonstante c der Stammfunktion, die beim Ableiten wegfällt, kann nicht bestimmt werden. Beispiel:
f(x) = 2x
mögliche Stammfunktionen sind zum Beispiel:
F(x) = x ^2
F(x) = x ^2 + 3
Beim »Hauptsatz der Integral- und Differentialrechnung« wird für F(x) eine beliebige Stammfuktion gewählt (am einfachsten natürlich mit c=0), denn durch F(b) - F(a) fällt c wieder weg, weshalb es zum Integrieren nicht notwendig ist, c genau zu kennen.
Integrationsregeln
1. Potenzregel (siehe Blatt)
...