\documentclass[12pt]{article}
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\usepackage{amsmath, amsfonts}
\date{}
\title{Aufgaben für die Vorlesung Praktische Mathematik}
\newcounter{tmpcounter}
\begin{document}
\maketitle

\begin{enumerate}

\item Man löse nach dem in der Vorlesung angegebenen
Verfahren (Gaußsches Eliminationsverfahren mit totaler Pivotstrategie) 
das lineare Gleichungssystem
\[\begin{array}{rcrcrcr}
\ x & + & 2y & + & 3z & = & 1\\
5x  & + & 5y & + & 5z & = & 2\\
4x  & + & 8y & + & 8z & = & 3
\end{array}\]

\item Man löse nach dem in der Vorlesung angegebenen
Verfahren (Gaußsches Eliminationsverfahren mit totaler Pivotstrategie) 
das lineare Gleichungssystem
\[\begin{array}{rcrcrcr}
\ x & + & 2y & + & 3z & = & 1\\
3x  & + & 4y & + & 5z & = & 2\\
5x  & + & 6y & + & 7z & = & 3
\end{array}\]
\item Man schreibe ein Programm, das ein lineares quadratisches
Gleichungssystem löst.

\item  Man schreibe eine C--Routine, die ein lineares Gleichungssystem
der Form
\[\begin{array}{rcrcrcr}
ax  & + & by & + & cz & = & r_1\\
    &   & dy & + & ez & = & r_2\\
    &   &    &   & fz & = & r_3
\end{array}\]
löst.

\item Man schreibe eine Routine, die ein beliebiges System von drei
linearen Gleichungen mit drei Unbestimmten löst.

\item Man schreibe eine C--Routine, die ein lineares Gleichungssystem,
dessen Koeffizientenmatrix eine obere Dreiecksmatrix ist, löst.
\setcounter{tmpcounter}{\value{enumi}}
\end{enumerate}

{\parindent0em
Gegeben seien die Werte
\[\begin{tabular}{c||c|c|c|c}
x&-3&-2&-1&0\\ \hline
y& 1&-1& 1&-1
\end{tabular}\]
Sei $p(x)$ das Polynom 3. Grades zu diesem Interpolationsproblem.
}


\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{\value{tmpcounter}}
\item Man finde $p(x)$ durch explizites Lösen eines linearen
Gleichungssystems. 

\item Man finde $p(x)$ nach der Methode von Lagrange. 

\item Man finde $p(x)$ nach der Methode von Newton. 

\item Man schreibe ein C--Programm, das nach der Methode von Lagrange
einen Zwischenwert interpoliert.

\item Man berechne die Taylorentwicklung von $\cos(x)$. Damit
berechne man
\[\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1 - \cos(x)}{x^2}.\]
Wie kann man das auch noch berechnen?  

\item Man berechne die Taylorentwicklung $\mathcal{T}(\sin(x))$
von $\sin(x)$. Es sei $\mathcal{T}_i(x)$ die Taylorentwicklung
von $\sin(x)$ bis $x^i$ einschließlich. Zeichnen Sie die
Funktionen $\sin(x), \mathcal{T}_1(x), \mathcal{T}_3(x)$ und
$\mathcal{T}_5(x)$.

\item Man berechne dir Taylorentwicklung bis zur Ordnung 4 von
$\tan{x}$.

\item Man berechne die Taylorentwicklung von $(1-x)^2$, $(1-x)^3$
und $(1-x)^n$ für beliebige $n\in\mathbb{N}$.

\item Man schreibe ein C-Programm zur Berechnung von $\exp(x)$
indem man die Taylorentwicklung benutzt. Wir nennen diese Funktion
$Exp(x)$.  Hiermit berechne man $Exp(x)$ für
$x = 1, 2, 3, 10, 20, -1, -2, -3, -10, -20$. Vergleichen Sie
die erhaltenen Werte mit denen der Exponentialfunktion aus der
mathematischen Bibliothek. Was fällt Ihnen auf?
Geben Sie dafür eine Erklärung!


\item Geben Sie eine Methode an, mit der Sie
\[\int_0^1e^{-x^2}\;dx \]
prinzipiell beliebig genau berechnen zu können. Rechnen Sie
damit!\footnote{Tip: Taylorentwicklung!} 

\item\label{a2} Gegeben seien
\[\begin{array}{c||c|c|r}
x & -1 & \ 0 & 1\\ \hline
y & -1 & \ 1 & -1
\end{array}\]
Man bestimme das dazugehörige Interpolationspolynom.

\item Man errechne den \emph{spline}, der zu den Daten aus
Aufgabe~\ref{a2} gehört. Man \texttt{gnuplotte} den \emph{spline} 
und das Interpolationspolynom aus Aufgabe~\ref{a2}.

\item Gegeben sei
\[\begin{array}{c||r|r|r|r|r|r|r|r|r}
x & -4 &  -3 & -2 & -1 & \ 0 & 1 & 2 & 3 & 4\\ \hline
y &  2 & -1 &  2  & -1 & \ 2 & -1& \ 2 & -1 & \ 2
\end{array}\]
Man berechne den dadurch bestimmten \emph{spline} und plotte ihn!

\item\label{a3} Gegeben sei

\begin{center}
\begin{tabular}{c||r|r|r|r|r}
x & 1 & 2 & 3 & 4 & 5\\ \hline
y & 1 & 3 & 4 & 5 & 4\\
\end{tabular}
\end{center}

Berechnen Sie eine Regressionsgerade.

\item Aus den Daten aus Aufgabe~\ref{a3} ermittle man eine
Regressions{\bf parabel}.

\item\label{b1} Durch Anwenden der Additionstheoreme für Winkelfunktionen beweise
man 
\begin{enumerate}
\item $\sin(\alpha)\sin(\beta) = \frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta))$
\item $\sin(\alpha)\cos(\beta) = \frac{1}{2}(\sin(\alpha - \beta) + \sin(\alpha + \beta))$
\end{enumerate} 

\item\label{b2} Mit Hilfe von Aufgabe~\ref{b1} beweise man
\begin{enumerate}
\item $\int \sin(\frac{1}{2}x)\sin(nx)dx = 
     \frac{1}{2n-1}\sin(\frac{2n-1}{2}x) - 
     \frac{1}{2n+1}\sin(\frac{2n+1}{2}x) + \mathcal{C}$  
\item $\int \sin(\frac{1}{2}x)\cos(nx)dx = 
     \frac{1}{2n-1}\cos(\frac{2n-1}{2}x) - 
     \frac{1}{2n+1}\cos(\frac{2n+1}{2}x) + \mathcal{C}$  
\end{enumerate}

\item Sei $f(x)$ eine periodische Funktion mit der Periode $2\pi$ und 
es gelte\\
\[ f(x) = \sin(\frac{1}{2}x)\hspace{1cm}\textrm{für}\ \ 0 \le x \le 2\pi\] 
Man berechne mit Hilfe von Aufgabe~\ref{b2} die Fourier--Entwicklung 
von $f(x)$.\footnote{Lösung: $f(x) = 
\frac{2}{\pi}(1 - 2(\frac{1}{1\cdot3}\cos(x) + 
\frac{1}{3\cdot5}\cos(2x) + \frac{1}{5\cdot7}\cos(3x) +\ldots))$} 
Man verschaffe sich einen Überblick (z. B. mit \texttt{gnuplot}) über
die ersten Approximationen an $f(x)$.

\item Gegeben seien die Werte
\[\begin{tabular}{c|c|c|c|c|c}
x&-4&-3&-2&-1&0\\ \hline
y&-1& 1&-1& 1&-1
\end{tabular}\]
Sei $p(x)$ das Polynom 4. Grades zu diesem Interpolationsproblem.
Man berechne $p(-3.5)$ und $p(-2.5)$.\footnote{Viel Spaß allen denen, die dies per Hand ausrechnen
wollen oder müssen.}

\item Gegeben seien die Werte
\[\begin{tabular}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c}
x&-4&-3&-2&-1& 0& 1& 2& 3& 4\\ \hline
y&-1& 1&-1& 1&-1& 1&-1& 1&-1
\end{tabular}\]
Sei $q(x)$ das Polynom 8. Grades zu diesem Interpolationsproblem.
Man berechne $q(-3.5)$ und $q(-2.5)$.$^2$

\item\label{eins} Man beweise durch partielle Integration
%\item Man beweise durch partielle Integration
\begin{enumerate}
\item $\int x \sin(x)\,dx = \sin(x) - x \cos(x) + \mathcal{C}$
\item $\int x \cos(x)\,dx = \cos(x) + x \sin(x) + \mathcal{C}$
\end{enumerate} 

\item Man beweise durch Substitution in Aufgabe~\ref{eins} 
\begin{enumerate}
\item $\int x \sin(n x)\,dx = \frac{\sin(n x)}{n^2} - \frac{x \cos(n x)}{n} + \mathcal{C}$
\item $\int x \cos(n x)\,dx = \frac{\cos(n x)}{n^2} + \frac{x \sin(n x)}{n} + \mathcal{C}$
\end{enumerate} 

\item Man berechne die Fourier--Reihe der Funktion $f(x)$ (Sägezahn--Funktion) 
\begin{enumerate}
\item $f(x)$ hat die Periode $2\pi$.
\item $f(x) = x \ \ \textrm{für}\ x\in[0, 2\pi[$
\end{enumerate}
Lösung: $f(x) = \pi - 2 \left(\sin(x) + \frac{sin(2x)}{2} + 
\frac{sin(3x)}{3} +\ldots\right)$

\item Man \emph{gnuplotte} (mindestens) die ersten 4 Approximationen 
für die Sägezahn--Funktion. 

\item Man schreibe eine C-Routine für die Sinus--Funktion.

\item\label{c1} Gegeben sei
\[ f(x) = x^2 - \exp(x).\]
\begin{enumerate}
\item Man berechne $f(+1)$, $f(0)$ und $f(-1)$.
\item In welchem Intervall liegt sicherlich eine Nullstelle?
\item Man berechne $f'(x)$.
\item Man zeichne (oder plotte) $f(x)$ und $f'(x)$.
\item Wieviele Nullstellen liegen in diesem Intervall?
\end{enumerate} 

\item Man berechne eine Nullstelle der Funktion
$f(x)$ aus Aufgabe~\ref{c1}
mit der \textit{Bisektions-Methode} ausgehend von den beiden Werten 
$u = -1$ und $o = 0$ auf 10 Stellen nach dem Komma genau. Berechne 
Sie im Voraus wieviele Schritte Sie benötigen werden.

\item Man berechne eine Nullstelle (auf 10 Stellen nach dem Komma
genau) der Funktion 
$f(x)$ aus Aufgabe~\ref{c1}
mit der \textit{Newton-Methode}
ausgehend von dem Wert $x_0 = -0,5$.

\item Man berechne eine Nullstelle der Funktion $f(x)$ aus 
Aufgabe~\ref{c1} mit Hilfe des \emph{Fixpunktsatzes für kontrahierende 
Abbildungen}.

\item Man überlege sich eine Methode, wie man eine Nullstelle 
der Funktion $f(x)$ aus Aufgabe~\ref{c1} mit \texttt{gnuplot}  
ausgehend von den beiden Werten $u = -1$ und $o = 0$ bestimmen kann.

\item Man schreibe C--Routine

\centerline{\texttt{bisek(double f(), double u, double o),}} 
der eine Funktion f, ein unterer Wert u 
und ein oberer Wert o übergeben wird, und die eine Nullstelle von f 
zwischen u und o berechnet.

\item Man berechne
\begin{enumerate}
\item\label{auf1} das unbestimmte Integral\footnote{\textbf{Tip: } Man führe die 
Substitution $z = 2x$ durch.}
\[ \int \frac{1}{1 + 4x^2}\,dx.\]
\item Hiermit berechne man
\begin{equation}
\int_{-1}^{1} \frac{1}{1 + 4x^2}\,dx.
\end{equation}
(\textbf{Ergebnis:} 1,107148717794\ldots)
\end{enumerate}

\item\label{auf2} Man berechne das Integral~\ref{auf1}
mit der Trapezformel für n = 10, 20, 50, 100 Teilintervalle.

\item\label{auf3} Man berechne das Integral~\ref{auf1} mit der Formel
von Simpson mit n = 10, 20, 50, 100 Teilintervallen.

\item In der Aufgabe~\ref{auf2} berechne man jeweils den tatsächlichen Fehler
und die Abschätzung des Fehlers mit der in der Vorlesung angegebenen
Formel.

\item In der Aufgabe~\ref{auf3} berechne man jeweils den tatsächlichen Fehler
und die Abschätzung des Fehlers mit der in der Vorlesung angegebenen
Formel.

\item Man schreibe eine C-Routine\\
\texttt{double trapez(double unten, double oben, double f(), int n)}\\
und eine C-Routine\\
\texttt{double simpson(double unten, double oben, double f(), int n).}


\item Man berechne durch numerische Integration
\[\int_0^{2\pi}\sin^3{x}\sin{ix}\;dx\] 
und
\[\int_0^{2\pi}\sin^3{x}\cos{ix}\;dx\]
für $i = 0, 1, \ldots 10$. Welche Fourier-Entwicklung vermuten Sie für
$\sin^3{x}$? Können Sie diese Formel beweisen? 

\item Gegeben seien die Punkte $\mathbf{P_0} = (0|-2)$, $\mathbf{P_1}
= (1|0)$ und $\mathbf{P_2} = (0|-1)$. Man skizziere die Kurve, die
durch
\begin{enumerate}
\item Polynom-Interpolation
\item \texttt{spline}-Interpolation
\item eine B\'ezier-Kurve
\end{enumerate}
mit diesen drei Punkten als Stützpunkten gegeben ist. 

\item Gegeben seien die Punkte $\mathbf{A} = (0|-2)$, $\mathbf{B}
= (1|0)$ und $\mathbf{C} = (0|-1)$. Man skizziere die B\'ezier-Kurven, 
die gegeben sind durch 
\begin{enumerate}
\item $\mathbf{P_0} = \mathbf{A}$, $\mathbf{P_1} = \mathbf{B}$,
$\mathbf{P_2} = \mathbf{B}$ und $\mathbf{P_3} = \mathbf{C}$.
\item $\mathbf{P_0} = \mathbf{A}$, $\mathbf{P_1} = \mathbf{B}$,
$\mathbf{P_2} = \mathbf{B}$, $\mathbf{P_3} = \mathbf{B}$ und
$\mathbf{P_4} = \mathbf{C}$.
\end{enumerate}

\item Gegeben seien die Punkte $\mathbf{P}_0 = (-1|1)$ und
$\mathbf{P}_2 = (1|1)$. Wie ist der Punkt $\mathbf{P}_1 = (a|b)$ zu
wählen, so dass die durch $\mathbf{P}_0$, $\mathbf{P}_1$ und
$\mathbf{P}_2$ definierte B\'{e}zier-Kurve durch den Ursprung geht?
Welche Parabel ist das? 

\item Man zeige, dass sich jedes quadratische Polynom durch
Linearkombination der Bernstein-Polynome zweiter Ordnung erhalten lässt.

\item Gegeben seien die Punkte $\mathbf{A} = (1|0)$, $\mathbf{B} =
(-\frac{1}{2}|\frac{\sqrt{3}}{2})$ und $\mathbf{C} = 
(-\frac{1}{2}|-\frac{\sqrt{3}}{2})$ auf dem Einheitskreis. Wir setzen
nun $\mathbf{P}_0 = \mathbf{A}$, $\mathbf{P}_1 =
\mathbf{B}$, $\mathbf{P}_2 = \mathbf{C}$ und $\mathbf{P}_3 = 
\mathbf{A}$.
\begin{enumerate}
	\item Beschreiben Sie die Lage der Punkte $\mathbf{A}$,
		$\mathbf{B}$ und $\mathbf{C}$ zueinander.
	\item Man plotte die B\'{e}zier-Kurve, die durch die Punkte
		$\mathbf{P}_i$, i = 0, 1, 2, 3, gegeben ist. 
	\item Man plotte die Kurve, die in diesem Fall durch 
		Polynom-Interpolation gegeben ist.
	\item Wie würden Sie die \texttt{spline}-Interpolation abändern,
um eine \emph{gute} Kurve zu erhalten, die durch die Punkte
$\mathbf{P}_i$, i = 0, 1, 2, 3, gegeben ist.
\end{enumerate}

\item In einer Lotterie wird die siebenstellige Gewinnzahl wie
folgt ermittelt: In einer Lostrommel kommen die Ziffern 0 bis 9 je
sieben mal vor. Die sieben Gewinnziffern der Gewinnzahl werden
nacheinander ohne Zurücklegen gezogen. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit eine
\begin{enumerate}
\item 8888888
\item 1234567
\item 4491101
\end{enumerate}
zu ziehen? Wie ändern sich die Werte, wenn die gezogenen Ziffern
zurückgelegt werden?

 \item Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß zwei von 34
Studenten
am gleichen Tag im Jahr\footnote{\ ein Jahr habe 365 Tage}
Geburtstag haben? 

\item Aus den Ziffern 1, 2, 3, 4 wähle man zuerst eine Ziffer $x$ und
dann aus den übrigen noch eine Ziffer $y$ aus. Man berechne die
Wahrscheinlichkeit, eine ungerade Ziffer zu erhalten
\begin{enumerate}
\item für die erste Wahl,
\item für die zweite Wahl,
\item für beide Wahlen.
\end{enumerate}

\item Man spiele mit zwei Würfeln. Das Resultat ist ein Paar
$(x, y)$. Man betrachte die Ereignisse
\begin{enumerate}
\item A: $x$ ist gerade,
\item B: $x + y$ ist gerade,
\item C: $y$ ist eine Primzahl\footnote{\ 1 wird nicht als
Primzahl
betrachtet},
\item D: $10x + y$ ist eine Primzahl.
\end{enumerate}
Man berechne die Wahrscheinlichkeiten dieser Ereignisse.
Welche unter den Paaren (A, B), (A, C), $\dots$ , (C, D) sind unabhängig?

\item Man berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, daß
\begin{enumerate}
\item eine natürliche Zahl $\le 1000$ durch 10 teilbar ist.
\item eine natürliche Zahl $\le 1000$ durch 10 teilbar ist, wenn man
schon weiß, daß sie durch 4 teilbar ist.
\end{enumerate}


\item Von den ca. 27 Millionen Beschäftigten in der Bundesrepublik
kommen 12.6 Millionen mit einem eigenen Kraftfahrzeug zur Arbeit. Wenn
man Fahrgemeinschaften vernachlässigt, wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit, dass
\begin{enumerate}
\item in einem Betrieb mit 10 Angestellten genau 5 
\item mindestens 5
\end{enumerate}
mit einem eigenen PKW zur Arbeit kommen.

\item Die Wahrscheinlichkeit, dass Spieler \textbf{A} den Spieler
\textbf{B} im \emph{Mensch ärgere dich nicht} schlägt ist $0.52$. Wie
wahrscheinlich ist es, dass \textbf{B} \textbf{A} schlägt bei 2 bzw.\
3 Gewinnspielen?

\item Eine Münze wird solange geworfen bis Kopf erscheint
höchstens jedoch zehnmal. Wie häufig muß man durchschnittlich werfen? 

\item Eine Münze wird solange geworfen bis Kopf erscheint.
Wie häufig muß man durchschnittlich werfen? 

\item Eine Urne enthält eine weiße und zwei schwarze
Kugeln. Man
definiere eine Zufallsvariable X wie folgt: Setze $X = 1$,
wenn die
gezogene Kugel weiß ist, und sonst $X = 0$.
\begin{enumerate}
\item Man beschreibe die Verteilung von $X$ durch ein
Stabdiagramm.
\item Man beschreibe die Verteilung von von $X_1 + X_2 +
X_3$, wobei
$X_i$ i-tes Ziehen einer Kugel mit Zurücklegen bezeichne.
\end{enumerate}

\item $X$ und $Y$ seien Zufallsvariable mit den folgenden
Verteilungen:

\begin{center}
\begin{tabular}{cc}
x & P($X = x$)\\ \hline
3 & 0,1\\
4 & 0,2\\
5 & 0,2\\
6 & 0,1\\
7 & 0,4
\end{tabular}
\hspace*{3em}
\begin{tabular}{cc}
y & P($Y = y$)\\ \hline
1 & 0,3\\
3 & 0,2\\
7 & 0,2\\
10 & 0,2\\
12 & 0,1
\end{tabular}
\end{center} 

Man berechne $E(X)$, $E(Y)$, $Var(X)$ und $Var(Y)$. 
\end{enumerate}
\end{document}
