\documentclass[12pt]{article} \usepackage{ngerman, a4, umlaut} \usepackage{amsmath, amsfonts} \date{} \title{Aufgaben für die Vorlesung Praktische Mathematik} \newcounter{tmpcounter} \begin{document} \maketitle \begin{enumerate} \item Man löse nach dem in der Vorlesung angegebenen Verfahren (Gaußsches Eliminationsverfahren mit totaler Pivotstrategie) das lineare Gleichungssystem \[\begin{array}{rcrcrcr} \ x & + & 2y & + & 3z & = & 1\\ 5x & + & 5y & + & 5z & = & 2\\ 4x & + & 8y & + & 8z & = & 3 \end{array}\] \item Man löse nach dem in der Vorlesung angegebenen Verfahren (Gaußsches Eliminationsverfahren mit totaler Pivotstrategie) das lineare Gleichungssystem \[\begin{array}{rcrcrcr} \ x & + & 2y & + & 3z & = & 1\\ 3x & + & 4y & + & 5z & = & 2\\ 5x & + & 6y & + & 7z & = & 3 \end{array}\] \item Man schreibe ein Programm, das ein lineares quadratisches Gleichungssystem löst. \item Man schreibe eine C--Routine, die ein lineares Gleichungssystem der Form \[\begin{array}{rcrcrcr} ax & + & by & + & cz & = & r_1\\ & & dy & + & ez & = & r_2\\ & & & & fz & = & r_3 \end{array}\] löst. \item Man schreibe eine Routine, die ein beliebiges System von drei linearen Gleichungen mit drei Unbestimmten löst. \item Man schreibe eine C--Routine, die ein lineares Gleichungssystem, dessen Koeffizientenmatrix eine obere Dreiecksmatrix ist, löst. \setcounter{tmpcounter}{\value{enumi}} \end{enumerate} {\parindent0em Gegeben seien die Werte \[\begin{tabular}{c||c|c|c|c} x&-3&-2&-1&0\\ \hline y& 1&-1& 1&-1 \end{tabular}\] Sei $p(x)$ das Polynom 3. Grades zu diesem Interpolationsproblem. } \begin{enumerate} \setcounter{enumi}{\value{tmpcounter}} \item Man finde $p(x)$ durch explizites Lösen eines linearen Gleichungssystems. \item Man finde $p(x)$ nach der Methode von Lagrange. \item Man finde $p(x)$ nach der Methode von Newton. \item Man schreibe ein C--Programm, das nach der Methode von Lagrange einen Zwischenwert interpoliert. \item Man berechne die Taylorentwicklung von $\cos(x)$. Damit berechne man \[\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1 - \cos(x)}{x^2}.\] Wie kann man das auch noch berechnen? \item Man berechne die Taylorentwicklung $\mathcal{T}(\sin(x))$ von $\sin(x)$. Es sei $\mathcal{T}_i(x)$ die Taylorentwicklung von $\sin(x)$ bis $x^i$ einschließlich. Zeichnen Sie die Funktionen $\sin(x), \mathcal{T}_1(x), \mathcal{T}_3(x)$ und $\mathcal{T}_5(x)$. \item Man berechne dir Taylorentwicklung bis zur Ordnung 4 von $\tan{x}$. \item Man berechne die Taylorentwicklung von $(1-x)^2$, $(1-x)^3$ und $(1-x)^n$ für beliebige $n\in\mathbb{N}$. \item Man schreibe ein C-Programm zur Berechnung von $\exp(x)$ indem man die Taylorentwicklung benutzt. Wir nennen diese Funktion $Exp(x)$. Hiermit berechne man $Exp(x)$ für $x = 1, 2, 3, 10, 20, -1, -2, -3, -10, -20$. Vergleichen Sie die erhaltenen Werte mit denen der Exponentialfunktion aus der mathematischen Bibliothek. Was fällt Ihnen auf? Geben Sie dafür eine Erklärung! \item Geben Sie eine Methode an, mit der Sie \[\int_0^1e^{-x^2}\;dx \] prinzipiell beliebig genau berechnen zu können. Rechnen Sie damit!\footnote{Tip: Taylorentwicklung!} \item\label{a2} Gegeben seien \[\begin{array}{c||c|c|r} x & -1 & \ 0 & 1\\ \hline y & -1 & \ 1 & -1 \end{array}\] Man bestimme das dazugehörige Interpolationspolynom. \item Man errechne den \emph{spline}, der zu den Daten aus Aufgabe~\ref{a2} gehört. Man \texttt{gnuplotte} den \emph{spline} und das Interpolationspolynom aus Aufgabe~\ref{a2}. \item Gegeben sei \[\begin{array}{c||r|r|r|r|r|r|r|r|r} x & -4 & -3 & -2 & -1 & \ 0 & 1 & 2 & 3 & 4\\ \hline y & 2 & -1 & 2 & -1 & \ 2 & -1& \ 2 & -1 & \ 2 \end{array}\] Man berechne den dadurch bestimmten \emph{spline} und plotte ihn! \item\label{a3} Gegeben sei \begin{center} \begin{tabular}{c||r|r|r|r|r} x & 1 & 2 & 3 & 4 & 5\\ \hline y & 1 & 3 & 4 & 5 & 4\\ \end{tabular} \end{center} Berechnen Sie eine Regressionsgerade. \item Aus den Daten aus Aufgabe~\ref{a3} ermittle man eine Regressions{\bf parabel}. \item\label{b1} Durch Anwenden der Additionstheoreme für Winkelfunktionen beweise man \begin{enumerate} \item $\sin(\alpha)\sin(\beta) = \frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta))$ \item $\sin(\alpha)\cos(\beta) = \frac{1}{2}(\sin(\alpha - \beta) + \sin(\alpha + \beta))$ \end{enumerate} \item\label{b2} Mit Hilfe von Aufgabe~\ref{b1} beweise man \begin{enumerate} \item $\int \sin(\frac{1}{2}x)\sin(nx)dx = \frac{1}{2n-1}\sin(\frac{2n-1}{2}x) - \frac{1}{2n+1}\sin(\frac{2n+1}{2}x) + \mathcal{C}$ \item $\int \sin(\frac{1}{2}x)\cos(nx)dx = \frac{1}{2n-1}\cos(\frac{2n-1}{2}x) - \frac{1}{2n+1}\cos(\frac{2n+1}{2}x) + \mathcal{C}$ \end{enumerate} \item Sei $f(x)$ eine periodische Funktion mit der Periode $2\pi$ und es gelte\\ \[ f(x) = \sin(\frac{1}{2}x)\hspace{1cm}\textrm{für}\ \ 0 \le x \le 2\pi\] Man berechne mit Hilfe von Aufgabe~\ref{b2} die Fourier--Entwicklung von $f(x)$.\footnote{Lösung: $f(x) = \frac{2}{\pi}(1 - 2(\frac{1}{1\cdot3}\cos(x) + \frac{1}{3\cdot5}\cos(2x) + \frac{1}{5\cdot7}\cos(3x) +\ldots))$} Man verschaffe sich einen Überblick (z. B. mit \texttt{gnuplot}) über die ersten Approximationen an $f(x)$. \item Gegeben seien die Werte \[\begin{tabular}{c|c|c|c|c|c} x&-4&-3&-2&-1&0\\ \hline y&-1& 1&-1& 1&-1 \end{tabular}\] Sei $p(x)$ das Polynom 4. Grades zu diesem Interpolationsproblem. Man berechne $p(-3.5)$ und $p(-2.5)$.\footnote{Viel Spaß allen denen, die dies per Hand ausrechnen wollen oder müssen.} \item Gegeben seien die Werte \[\begin{tabular}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c} x&-4&-3&-2&-1& 0& 1& 2& 3& 4\\ \hline y&-1& 1&-1& 1&-1& 1&-1& 1&-1 \end{tabular}\] Sei $q(x)$ das Polynom 8. Grades zu diesem Interpolationsproblem. Man berechne $q(-3.5)$ und $q(-2.5)$.$^2$ \item\label{eins} Man beweise durch partielle Integration %\item Man beweise durch partielle Integration \begin{enumerate} \item $\int x \sin(x)\,dx = \sin(x) - x \cos(x) + \mathcal{C}$ \item $\int x \cos(x)\,dx = \cos(x) + x \sin(x) + \mathcal{C}$ \end{enumerate} \item Man beweise durch Substitution in Aufgabe~\ref{eins} \begin{enumerate} \item $\int x \sin(n x)\,dx = \frac{\sin(n x)}{n^2} - \frac{x \cos(n x)}{n} + \mathcal{C}$ \item $\int x \cos(n x)\,dx = \frac{\cos(n x)}{n^2} + \frac{x \sin(n x)}{n} + \mathcal{C}$ \end{enumerate} \item Man berechne die Fourier--Reihe der Funktion $f(x)$ (Sägezahn--Funktion) \begin{enumerate} \item $f(x)$ hat die Periode $2\pi$. \item $f(x) = x \ \ \textrm{für}\ x\in[0, 2\pi[$ \end{enumerate} Lösung: $f(x) = \pi - 2 \left(\sin(x) + \frac{sin(2x)}{2} + \frac{sin(3x)}{3} +\ldots\right)$ \item Man \emph{gnuplotte} (mindestens) die ersten 4 Approximationen für die Sägezahn--Funktion. \item Man schreibe eine C-Routine für die Sinus--Funktion. \item\label{c1} Gegeben sei \[ f(x) = x^2 - \exp(x).\] \begin{enumerate} \item Man berechne $f(+1)$, $f(0)$ und $f(-1)$. \item In welchem Intervall liegt sicherlich eine Nullstelle? \item Man berechne $f'(x)$. \item Man zeichne (oder plotte) $f(x)$ und $f'(x)$. \item Wieviele Nullstellen liegen in diesem Intervall? \end{enumerate} \item Man berechne eine Nullstelle der Funktion $f(x)$ aus Aufgabe~\ref{c1} mit der \textit{Bisektions-Methode} ausgehend von den beiden Werten $u = -1$ und $o = 0$ auf 10 Stellen nach dem Komma genau. Berechne Sie im Voraus wieviele Schritte Sie benötigen werden. \item Man berechne eine Nullstelle (auf 10 Stellen nach dem Komma genau) der Funktion $f(x)$ aus Aufgabe~\ref{c1} mit der \textit{Newton-Methode} ausgehend von dem Wert $x_0 = -0,5$. \item Man berechne eine Nullstelle der Funktion $f(x)$ aus Aufgabe~\ref{c1} mit Hilfe des \emph{Fixpunktsatzes für kontrahierende Abbildungen}. \item Man überlege sich eine Methode, wie man eine Nullstelle der Funktion $f(x)$ aus Aufgabe~\ref{c1} mit \texttt{gnuplot} ausgehend von den beiden Werten $u = -1$ und $o = 0$ bestimmen kann. \item Man schreibe C--Routine \centerline{\texttt{bisek(double f(), double u, double o),}} der eine Funktion f, ein unterer Wert u und ein oberer Wert o übergeben wird, und die eine Nullstelle von f zwischen u und o berechnet. \item Man berechne \begin{enumerate} \item\label{auf1} das unbestimmte Integral\footnote{\textbf{Tip: } Man führe die Substitution $z = 2x$ durch.} \[ \int \frac{1}{1 + 4x^2}\,dx.\] \item Hiermit berechne man \begin{equation} \int_{-1}^{1} \frac{1}{1 + 4x^2}\,dx. \end{equation} (\textbf{Ergebnis:} 1,107148717794\ldots) \end{enumerate} \item\label{auf2} Man berechne das Integral~\ref{auf1} mit der Trapezformel für n = 10, 20, 50, 100 Teilintervalle. \item\label{auf3} Man berechne das Integral~\ref{auf1} mit der Formel von Simpson mit n = 10, 20, 50, 100 Teilintervallen. \item In der Aufgabe~\ref{auf2} berechne man jeweils den tatsächlichen Fehler und die Abschätzung des Fehlers mit der in der Vorlesung angegebenen Formel. \item In der Aufgabe~\ref{auf3} berechne man jeweils den tatsächlichen Fehler und die Abschätzung des Fehlers mit der in der Vorlesung angegebenen Formel. \item Man schreibe eine C-Routine\\ \texttt{double trapez(double unten, double oben, double f(), int n)}\\ und eine C-Routine\\ \texttt{double simpson(double unten, double oben, double f(), int n).} \item Man berechne durch numerische Integration \[\int_0^{2\pi}\sin^3{x}\sin{ix}\;dx\] und \[\int_0^{2\pi}\sin^3{x}\cos{ix}\;dx\] für $i = 0, 1, \ldots 10$. Welche Fourier-Entwicklung vermuten Sie für $\sin^3{x}$? Können Sie diese Formel beweisen? \item Gegeben seien die Punkte $\mathbf{P_0} = (0|-2)$, $\mathbf{P_1} = (1|0)$ und $\mathbf{P_2} = (0|-1)$. Man skizziere die Kurve, die durch \begin{enumerate} \item Polynom-Interpolation \item \texttt{spline}-Interpolation \item eine B\'ezier-Kurve \end{enumerate} mit diesen drei Punkten als Stützpunkten gegeben ist. \item Gegeben seien die Punkte $\mathbf{A} = (0|-2)$, $\mathbf{B} = (1|0)$ und $\mathbf{C} = (0|-1)$. Man skizziere die B\'ezier-Kurven, die gegeben sind durch \begin{enumerate} \item $\mathbf{P_0} = \mathbf{A}$, $\mathbf{P_1} = \mathbf{B}$, $\mathbf{P_2} = \mathbf{B}$ und $\mathbf{P_3} = \mathbf{C}$. \item $\mathbf{P_0} = \mathbf{A}$, $\mathbf{P_1} = \mathbf{B}$, $\mathbf{P_2} = \mathbf{B}$, $\mathbf{P_3} = \mathbf{B}$ und $\mathbf{P_4} = \mathbf{C}$. \end{enumerate} \item Gegeben seien die Punkte $\mathbf{P}_0 = (-1|1)$ und $\mathbf{P}_2 = (1|1)$. Wie ist der Punkt $\mathbf{P}_1 = (a|b)$ zu wählen, so dass die durch $\mathbf{P}_0$, $\mathbf{P}_1$ und $\mathbf{P}_2$ definierte B\'{e}zier-Kurve durch den Ursprung geht? Welche Parabel ist das? \item Man zeige, dass sich jedes quadratische Polynom durch Linearkombination der Bernstein-Polynome zweiter Ordnung erhalten lässt. \item Gegeben seien die Punkte $\mathbf{A} = (1|0)$, $\mathbf{B} = (-\frac{1}{2}|\frac{\sqrt{3}}{2})$ und $\mathbf{C} = (-\frac{1}{2}|-\frac{\sqrt{3}}{2})$ auf dem Einheitskreis. Wir setzen nun $\mathbf{P}_0 = \mathbf{A}$, $\mathbf{P}_1 = \mathbf{B}$, $\mathbf{P}_2 = \mathbf{C}$ und $\mathbf{P}_3 = \mathbf{A}$. \begin{enumerate} \item Beschreiben Sie die Lage der Punkte $\mathbf{A}$, $\mathbf{B}$ und $\mathbf{C}$ zueinander. \item Man plotte die B\'{e}zier-Kurve, die durch die Punkte $\mathbf{P}_i$, i = 0, 1, 2, 3, gegeben ist. \item Man plotte die Kurve, die in diesem Fall durch Polynom-Interpolation gegeben ist. \item Wie würden Sie die \texttt{spline}-Interpolation abändern, um eine \emph{gute} Kurve zu erhalten, die durch die Punkte $\mathbf{P}_i$, i = 0, 1, 2, 3, gegeben ist. \end{enumerate} \item In einer Lotterie wird die siebenstellige Gewinnzahl wie folgt ermittelt: In einer Lostrommel kommen die Ziffern 0 bis 9 je sieben mal vor. Die sieben Gewinnziffern der Gewinnzahl werden nacheinander ohne Zurücklegen gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit eine \begin{enumerate} \item 8888888 \item 1234567 \item 4491101 \end{enumerate} zu ziehen? Wie ändern sich die Werte, wenn die gezogenen Ziffern zurückgelegt werden? \item Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß zwei von 34 Studenten am gleichen Tag im Jahr\footnote{\ ein Jahr habe 365 Tage} Geburtstag haben? \item Aus den Ziffern 1, 2, 3, 4 wähle man zuerst eine Ziffer $x$ und dann aus den übrigen noch eine Ziffer $y$ aus. Man berechne die Wahrscheinlichkeit, eine ungerade Ziffer zu erhalten \begin{enumerate} \item für die erste Wahl, \item für die zweite Wahl, \item für beide Wahlen. \end{enumerate} \item Man spiele mit zwei Würfeln. Das Resultat ist ein Paar $(x, y)$. Man betrachte die Ereignisse \begin{enumerate} \item A: $x$ ist gerade, \item B: $x + y$ ist gerade, \item C: $y$ ist eine Primzahl\footnote{\ 1 wird nicht als Primzahl betrachtet}, \item D: $10x + y$ ist eine Primzahl. \end{enumerate} Man berechne die Wahrscheinlichkeiten dieser Ereignisse. Welche unter den Paaren (A, B), (A, C), $\dots$ , (C, D) sind unabhängig? \item Man berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, daß \begin{enumerate} \item eine natürliche Zahl $\le 1000$ durch 10 teilbar ist. \item eine natürliche Zahl $\le 1000$ durch 10 teilbar ist, wenn man schon weiß, daß sie durch 4 teilbar ist. \end{enumerate} \item Von den ca. 27 Millionen Beschäftigten in der Bundesrepublik kommen 12.6 Millionen mit einem eigenen Kraftfahrzeug zur Arbeit. Wenn man Fahrgemeinschaften vernachlässigt, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass \begin{enumerate} \item in einem Betrieb mit 10 Angestellten genau 5 \item mindestens 5 \end{enumerate} mit einem eigenen PKW zur Arbeit kommen. \item Die Wahrscheinlichkeit, dass Spieler \textbf{A} den Spieler \textbf{B} im \emph{Mensch ärgere dich nicht} schlägt ist $0.52$. Wie wahrscheinlich ist es, dass \textbf{B} \textbf{A} schlägt bei 2 bzw.\ 3 Gewinnspielen? \item Eine Münze wird solange geworfen bis Kopf erscheint höchstens jedoch zehnmal. Wie häufig muß man durchschnittlich werfen? \item Eine Münze wird solange geworfen bis Kopf erscheint. Wie häufig muß man durchschnittlich werfen? \item Eine Urne enthält eine weiße und zwei schwarze Kugeln. Man definiere eine Zufallsvariable X wie folgt: Setze $X = 1$, wenn die gezogene Kugel weiß ist, und sonst $X = 0$. \begin{enumerate} \item Man beschreibe die Verteilung von $X$ durch ein Stabdiagramm. \item Man beschreibe die Verteilung von von $X_1 + X_2 + X_3$, wobei $X_i$ i-tes Ziehen einer Kugel mit Zurücklegen bezeichne. \end{enumerate} \item $X$ und $Y$ seien Zufallsvariable mit den folgenden Verteilungen: \begin{center} \begin{tabular}{cc} x & P($X = x$)\\ \hline 3 & 0,1\\ 4 & 0,2\\ 5 & 0,2\\ 6 & 0,1\\ 7 & 0,4 \end{tabular} \hspace*{3em} \begin{tabular}{cc} y & P($Y = y$)\\ \hline 1 & 0,3\\ 3 & 0,2\\ 7 & 0,2\\ 10 & 0,2\\ 12 & 0,1 \end{tabular} \end{center} Man berechne $E(X)$, $E(Y)$, $Var(X)$ und $Var(Y)$. \end{enumerate} \end{document}