\documentclass[twoside,a4paper] {book}	% Typ: zweiseitiges Buch

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\begin{document}



\begin{titlepage}

\begin{center}
  \Huge Klausurhilfe für Mathe II

  bei Herrn Prof. Dr. L. Eichner

\end{center}
\begin{center}

  von

  Ernst Otto Schäfer

\end {center}

\end{titlepage}

\newpage

\tableofcontents					% Inhaltsverzeichnis einfügen

\chapter{Integrationsmethoden}
\label{chp:Integrationsmethoden}


\index{Integralrechnung}\index{Integrationsmethoden}


\section{Partielle Integration (auch Produktregel)}

\index{Intergralrechnug}\index{Integrationsmethoden}

\index{Partielle Integration!Integrationsmethoden}\index{Integrationsmethoden!Partielle Integration}

\begin{equation}
  \int uv'=uv-\int u'v
\end{equation}



Partielle Integration ( => Faktorenvertauschung):

\begin{eqnarray}
\int x\cdot \ln x\: dx & = & \int \ln x\cdot x\: dx\\
 & = & \ln x\cdot \frac{x^{2}}{2}-\int \frac{1}{x}\cdot \frac{x^{2}}{2}\: dx\\
 & = & \ln x\cdot \frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{2}}{4}+C
\end{eqnarray}

\textbf{ Nicht vergessen, die Integrationskonstante hinzuzufügen! ( +C )}




%              #####         Substitution         #####


\section{Substitution (auch Kettenregel)}

\index{Intergralrechnug}\index{Integrationsmethoden}
\index{Substitution (auch Kettenregel)!Integrationsmethoden}\index{Integrationsmethoden!Substitution (auch Kettenregel)}


\begin{equation}
  \int g(u)\cdot u'(x)\: dx=\int g(u)\: du_{|_{u=u(x)}}
\end{equation}



Integration durch Substitution

\index{Integration durch Substitution}\index{Integration!durch Substitution}\index{Substitution!Integration durch}
\index{Substitutionsformel}

\begin{equation}
  \int \left( 3+x^{5}\right) x^{4}\: dx=\frac{1}{5}\int \left( 3+x^{5}\right)5x^{4}\: dx
\end{equation}

nach der Substitutionsformel

\begin{eqnarray}
 \left( \frac{1}{5}\int u\: du \right) & & \\
 \Rightarrow \frac{1}{5}\frac{\left( 3+x^{5}\right) ^{2}}{2}+C & = & \frac{\left( 3+x^{5}\right) ^{2}}{10}+C
\end{eqnarray}


Formale Vorgehensweise bei der Substitution:

\index{Substitutionsregel!Formale Vorgehensweise bei der ersten}

\begin{enumerate}
\item Sei \( \int g(u(x))\cdot u'(x)\: dx \)
\item Setze \( u=u(x) \)
\item \( \frac{du}{dx}=u'(x) \) woraus wird \( du=u'(x)\: dx \)
\item Dann ersetze \( u(x) \) durch \( u \) und \( u'(x)\: dx \) ersetzen.
\end{enumerate}

Integration durch Substitution

\begin{equation}
\label{eq:Integration_Substitution2}
\int (x^{5}+7)^{3}x^{4}\: dx=\frac{1}{5}\int (x^{5}+7)^{3}5x^{4}\: dx
\end{equation}
Mit \( u=x^{5}+7 \); \( \frac{du}{dx}=5x^{4} \) wird \( du=5x^{4}\: dx \).
Damit wird in \ref{eq:Integration_Substitution2} substituiert:
\begin{equation}
  \frac{1}{5}\int u^{3}\: du=\frac{1}{5}\frac{u^{4}}{4}+C=\frac{u^{4}}{20}+C
\end{equation}
Rücksubstituion:
\begin{equation}
  =\frac{(x^{5}+7)^{4}}{20}+C
\end{equation}

\index {Rücksubstituion}

Substitution ist sinnvoll, wenn Integrale nicht in der Form \( \int g(u(x))\cdot u'(x)\: dx \)
vorliegen! Beispiel:


\begin{equation}
  \label{eq.Sub2-1}
  \int x\sqrt{x+1}\: dx
\end{equation}

\begin{eqnarray}
  u & = & x+1\\
  \frac{du}{dx} & = & 1\\
  du & = & dx
\end{eqnarray}

die Substitution in \ref{eq.Sub2-1} durch \( x=u-1 \), um die Wurzel
als eine Variable \( a^{\frac{1}{2}} \) darstellen zu können und
einfach integrieren zu können:

\begin{eqnarray}
  \int x\sqrt{x+1}dx & = & \int (u-1)\sqrt{u}\: du\\
   & = & \int (u-1)\cdot u^{\frac{1}{2}}\: du\\
   & = & \int (u^{\frac{3}{2}}-u^{¸\frac{1}{2}})\: du\\
   & = & \frac{2}{5}u^{\frac{5}{2}}-\frac{2}{3}u^{\frac{3}{2}}+C\label{eq.Sub2-2}
\end{eqnarray}


Nach Durchführung der Rücksubstitution ergibt sich aus Gleichung \ref{eq.Sub2-2}:\[
=\frac{2}{5}(x+1)^{\frac{5}{2}}-\frac{2}{3}(x+1)^{\frac{3}{2}}+C\]


\bigskip

Substitution, wenn Integrale nicht als \( \int g(u(x))\cdot u'(x)\: dx \)
vorliegen


\begin{equation}
  \int \frac{1}{x^{2}+p}\; dx
\end{equation}

für $ p>0 $.


\begin{eqnarray}
  \int \frac{1}{x^{2}+1}\: dx & = & \arctan +C\\
  & = & \frac{1}{p}\int \frac{1}{\frac{x^{2}}{p}+1}\: dx
\end{eqnarray}


Substitution:

\begin{eqnarray}
  &  & \frac{x}{\sqrt{p}}\\
   \frac{du}{dx} & = & \frac{1}{\sqrt{p}}\\
    du & = & \frac{1}{\sqrt{p}}dx\\
  & = & \frac{1}{\sqrt{p}}\int \frac{1}{(\frac{x}{\sqrt{p}})^{2}+1}\frac{1}{\sqrt{p}}dx\\
  \frac{1}{\sqrt{p}}\int \frac{1}{u^{2}+1}du & = & \frac{1}{\sqrt{p}}(\arctan +C)
\end {eqnarray}
Rücksubstitution:
\begin{equation}
  =\frac{1}{\sqrt{p}}(\arctan \frac{x}{\sqrt{p}}+C)=\frac{1}{\sqrt{p}}\arctan \frac{x}{\sqrt{p}}+C
\end {equation}

Substitution, wenn Integrale nicht als \( \int g(u(x))\cdot u'(x)dx \) vorliegen
\begin{equation}
  \int \frac{1}{x^{2}+bx+c}\: dx
\end{equation}

\begin{equation}
  \int \frac{1}{x^{2}+1}\: dx=\arctan +C
\end{equation}
Quadratische Ergänzung der Ausgangsformel:
\begin{equation}
  x^{2}+bx+c=x^{2}+bx+(\frac{b}{2})^{2}-(\frac{b}{2})^{2}+c=(x+\frac{b}{2})^{2}-(\frac{b}{2})^{2}+c
\end{equation}
\[p:=-(\frac{b}{2})^{2}+c \].

\[ u=x+\frac{b}{2}\ \frac{du}{dx}=1 \Rightarrow du=dx \].

\begin{eqnarray}
  \Rightarrow \int \frac{1}{(x+\frac{b}{2})^{2}+p}dx & \overbrace{=}^{Subst.} & \int \frac{1}{u^{2}+p}\: du\\
  & = & \frac{1}{\sqrt{p}}\cdot \arctan \frac{u}{\sqrt{p}}+C\\
  & \overbrace{=}^{Ru"cks.} & \frac{1}{\sqrt{c-(\frac{b}{2})^{2}}}\cdot \arctan \frac{x+\frac{b}{2}}{\sqrt{c-(\frac{b}{2})^{2}}}+C
\end{eqnarray}
Dies gilt nur für \( c-\frac{b^{2}}{4}>0 \)





%                             ############# Zweite Substitutionsformel #############


\section{Zweite Substitutionsformel}

\index{Intergralrechnug}\index{Integrationsmethoden}
\index{Zweite Substitutionsformel!Integrationsmethoden}\index{Integrationsmethoden!Zweite Substitutionsformel}

\index{Substitution mit einer Funktion!Integrationsmethoden}\index{Integrationsmethoden!Substitution mit einer Funktion)}


Integration durch Substitution mit einer Funktion
\begin{equation}
  \int \sqrt{1-x^{2}}\: dx=\otimes
\end{equation}
Der sog. "`trigonometrische Pythagoras"' ist bekannt: \[
\sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha =1\]
Hier gilt:\[
\sin ^{2}u+\cos ^{2}u=1\]
\[
\cos ^{2}u=1-\sin ^{2}u\]
Setze \( x=\sin u \), also \( \frac{dx}{du}=\cos u \), \( dx=\cos u\cdot du \).

Substitution von \( x \) und \( dx \):

\index{Substitution}

\begin{eqnarray}
=\int \sqrt{\cos ^{2}u}\cdot \cos u\: du & = & \int \cos ^{2}u\: du\\
 & = & \int \cos u\cdot \cos u\: du\\
 & = & \frac{1}{2}\left( \cos u\cdot \sin u+u\right) +C\\
 & = & \frac{1}{2}\left( \sqrt{1-\sin ^{2}u}\cdot \sin u+u\right) +C
\end{eqnarray}


Rücksubstitution:
\begin{equation}
  =\frac{1}{2}(\sqrt{1-x^{2}}\cdot x+\arcsin x+C
\end{equation}



Formale Vorgehensweise bei der zweiten Substitutionsregel:

\index{Substitutionsregel!Formale Vorgehensweise bei der zweiten}

\begin{enumerate}
\item Sei \( x=g(u) \) nach \( u \) differenzierbar und nach \( u \)
auflösbar.
\item Dann ist
\begin{equation}
  \int f(x)\: dx=\int f(g(u))\cdot g'(u)\: du_{|_{u=g^{-1}(x)}}
\end{equation}
Dies ist genau die erste Substitutionsregel rückwärts gelesen. Eventuell
ist nämlich der Ausdruck auf der rechten Seite einfacher integrierbar;
dies zeigt sich nur durch Ausprobieren.
\end{enumerate}





%                 ################### Substitution bei bestimmten Integralen #################


\section{Substitution bei bestimmten Integralen}


\index{Intergralrechnug}\index{Integrationsmethoden}
\index{Substitution bei bestimmten Integralen!Integrationsmethoden}\index{Integrationsmethoden!Substitution bei bestimmten Integralen}




\begin{equation}
  \int\limits ^{3}_{-1}x\sqrt{x+1}\: dx=
\end{equation}
$u=x+1\Leftrightarrow x=u-1$, $\frac{du}{dx}=1\Rightarrow du=dx$, $u(-1)=0\ u(3)=4$

\begin{eqnarray}
  \int\limits ^{4}_{0}\left( u-1\right) u^{\frac{1}{2}}\: du & = & \int\limits _{0}^{4}\left( u^{\frac{3}{2}}-u^{\frac{1}{2}}\right) \: du\\
  & = & \left[ \frac{2}{5}u^{\frac{5}{2}}-\frac{2}{3}u^{\frac{3}{2}}\right] _{0}^{4}\\
  & = & \frac{112}{15}
\end{eqnarray}


\begin{equation}
  \int _{0}^{1}\sqrt{1-x^{2}}\: dx=
\end{equation}

$x=\sin (u)$, $\frac{dx}{du}=\cos (u)$ $dx=\cos (u)\cdot du$, $u=\arcsin (x)$, $u(0)=0$, $u(1)=\frac{\pi }{2}$.

\begin{eqnarray}
=\int ^{u(1)}_{u(0)}\sqrt{1-\sin ^{2}u}\cdot \cos u\cdot u & = & \int _{0}^{\frac{\pi }{2}}\cos ^{2}u\cdot du\\
 & = & \left[ \frac{1}{2}(sin(u)\cdot cos(u)+u\right] ^{\frac{\pi }{2}}_{0}\\
 & = & \frac{\pi }{4}
\end{eqnarray}







%             ############# Integration durch Partialbruchzerlegung #############



\section{Integration durch Partialbruchzerlegung}
\label{sec:IntegrationDurchPartialbruchzerlegung}

\index{Intergralrechnug}\index{Integrationsmethoden}
\index{Integration durch Partialbruchzerlegung!Integrationsmethoden}\index{Integrationsmethoden!Integration durch Partialbruchzerlegung}



\subsection{Integration von gebrochen rationalen Funktionen}
\label{sbs:IntegrationVonGebrochenRationalenFunktionen}

\index{Intergralrechnug}\index{Integrationsmethoden}
\index{Integration durch Partialbruchzerlegung!Integrationsmethoden}\index{Integrationsmethoden!Integration durch Partialbruchzerlegung}

\index{Integration von gebrochen rationalen Funktionen!Integrationsmethoden}\index{Integrationsmethoden!Integration von gebrochen rationalen Funktionen}

\begin{equation}
  \int \frac{Z(x)}{N(x)}\: dx
\end{equation}
$Z(x)\ =$ Zählerpolynom, $N(x)\ =$ Nennerpolynom

Wenn $Z(x)\leq N(x)$ muß eine Polynomdivision durchgeführt werden.

\begin{equation}
  \frac{Z(x)}{N(x)}=p(x)+\frac{Z_{1}(x)}{N(x)}\Rightarrow Z_{1}(x) \leq N(x)
\end{equation}

\begin{equation}
  \left( x^{3}+x^{2}-x+3\right) :\left( x^{2}+x-2\right) =x+\frac{x+3}{x^{2}+x-2}
\end{equation}
\begin{equation}
  \int \frac{Z_{1}(x)}{N(x)}
\end{equation}
$\Rightarrow $ auf die Summe von einer der  sechs Grundtypen umzuformen, die leicht zu integrieren
sind:

\begin{description}
\item [\label{bruchtyp.a-1}a-1]\( \int \frac{1}{x-a}\: dx=\ln \left| x-a\right| +C \).
Hier steht im Zähler die Ableitung des Nenners.
\item [a-2]\( \int \frac{1}{(x-a)^{n}}\: dx=\frac{(x-a)^{-n+1}}{-n+1}+C \)
mit \( n>1 \)
\item [b-1]\( \int \frac{2x+b}{x^{2}+bx+c}\: dx=\ln \left| x^{2}+bx+c\right| +C \).
Hier steht im Zähler die Ableitung des Nenners.
\item [b-2]\( \int \frac{2x+b}{\left( x^{2}+bx+c\right) ^{n}}\: dx=\frac{\left( x^{2}+bx+c\right) ^{-n+1}}{-n+1}+C \)
mit \( n>1 \)
\item [c-1]\( \int \frac{1}{x^{2}+bx+c}dx=\frac{1}{\sqrt{c-\frac{b^{2}}{4}}}\cdot \arctan \left( \frac{x+\frac{b}{2}}{\sqrt{c-\frac{b^{2}}{4}}}\right) +C \)
für \( c-\frac{b^{2}}{4}>0 \), wodurch das Polynom \( x^{2}+bx+c \)
nur komplexe Nullstellen hat.
\item [c-2]\( \int \frac{1}{\left( x^{2}+bx+c\right) ^{n}}\: dx=\left( c-\frac{b^{2}}{4}\right) ^{-n+\frac{1}{2}}\cdot \int \frac{1}{\left( t^{2}+1\right) ^{n}}\: dt \).
Die Integration des Integrals auf der rechten Seite ist nach der Produktregel
(mit »Rekursionsformel«) möglich. Mit \( t=\frac{x+\frac{b}{2}}{c-\frac{b^{2}}{4}} \),
weil Substitution durchgeführt wurde.
\end{description}


Allgemeine Vorgehensweise zur Integration gebrochen rationaler Funktionen

\begin{enumerate}
\item Nullstellen des Nennerpolynoms \( N(x) \) berechnen und \( N(x) \)
in lineare und unzerlegbare quadratische Faktoren zerlegen. Im Bereich \( \mathbb {R} \)
kommen ggf. noch quadratische nicht in \( \mathbb {R} \) zerlegbare
Faktoren vor. Also wird

 \begin{equation}
   N(x)=\ldots \cdot (x-a)^{k}\cdot \ldots \cdot (x^{2}+px+q)^{l}\cdot \ldots
 \end{equation}



\item Partialbruch-Ansatz:

\index{Partialbruch-Ansatz}

\begin{eqnarray}
\frac{Z(x)}{\ldots \cdot (x-a)^{k}\cdot \ldots \cdot (x^{2}+px+q)^{l}\cdot \ldots }=\ldots  & + & \frac{A_{1}}{\left( x-a\right) }+\frac{A_{2}}{\left( x-a\right) ^{2}}+\ldots +\frac{A_{K}}{\left( x-a\right) ^{k}}+\ldots \\
 & + & \frac{B_{1}x+C_{1}}{x^{2}+px+q}+\frac{B_{2}x+C_{2}}{\left( x^{2}+px+q\right) ^{2}}+\ldots\\
 & + & \frac{B_{l}x+C_{l}}{\left( x^{2}+px+q\right) ^{l}}
\end{eqnarray}
Das Zählerpolynom $Z(x)$ ist in unbekannte Koeffizienten und lineare Gleichungen mit Koeffizienten im Nenner aufgeteilt.
\item Gesamte Gleichung mit dem Hauptnenner $N(x)$ multipliziert;

\item Koeffizienten $A_{1}$, $A_{2}$ ausgerechnen.
\item Integration der Partialbruchzerlegung.
\item Partialbrüche notieren, sie entstehen
aus dem Partialbruchansatz nach Einsetzen der berechneten Koeffizienten.
\end{enumerate}



\subsubsection{Beispiel Klausuraufgabe}
\label{sss:BeispielKlausuraufgabe}

Berechnen Sie mittels Partialbruchzerlegung
\begin{equation}
  \int \frac{3x^2+8x+8}{x\cdot \left (x+2\right )^2}\;dx = \otimes
\end{equation}

\begin{eqnarray}
  \frac{3x^2+8x+8}{x\cdot\left (x+2\right )^2} & = & \frac{A}{x} + \frac{B}{x+2}+\frac{C}{\left (x+2\right )^2}\\
   3x^2+8x+8 & = & A\left (x+2\right )^2 + Bx\left (x+2\right ) + Cx
\end{eqnarray}

\underline{Einsetzen}

\begin{description}

  \item[x = 0:]

    \begin{equation}
      8 = A \cdot 4\  \Rightarrow\  A = 2
    \end{equation}

  \item[x = -2:]

    \begin{eqnarray}
      12 - 16 + 8 & = & -2C\\
       4 & = & -2C\  \Rightarrow C = -2
    \end{eqnarray}

    \item[x = 1: ]

      \begin{eqnarray}
        3 + 8 + 8 & = & A\cdot 9 + 3B + C\\
        19 & = & 18 + 3B -2\\
        \Rightarrow \  3 & = & 3B \  \Rightarrow B = 1
      \end{eqnarray}
\end{description}


\begin{eqnarray}
  \otimes & = & \int \frac{2}{x}\; dx * \int \frac{1}{x2}\; dx + \int \frac{-2}{\left ( x+2\right )^2}\;\\
  & = & \underline{\underline{2\ln|x| + \ln|x + 2| + 2\left ( x + 2 \right )^{-1} +C}}
\end{eqnarray}











%            ############## Numerische Integration ############


\chapter{Numerische Integration / Integrationsverfahren}
\label{chp:NumerischeIntegrationIntegrationsverfahren}


\index{Numerische Integration}


\section{Newton-Verfahren (Tangenten-Verfahren)}
\label{sec:NewtonVerfahrenTangentenVerfahren}




\index{Newton-Iteration!Numerische Integration / Integrationsverfahren}
\index{Numerische Integration / Integrationsverfahren!Newton-Iteration}


\index{Integrationsverfahren!Newton-Verfahren (Tangenten-Verfahren)}
\index{Newton-Verfahren (Tangenten-Verfahren)!Integrationsverfahren}


Bei diesem Verfahren muss die Funktion differenzierbar sein.
Lösungsverfahren:

\begin{enumerate}
\item Wähle $a$
\item Lege durch $(a|f(a))$ die Tangente an $f(x)$. Tangentengleichung in Punktsteigungsform:
\begin{eqnarray}
  \frac{y-f(a)}{x-a} & = & f'(a)\\
  \Leftrightarrow \: y & = & f'(a)(x-a)+f(a)
\end{eqnarray}

\item Berechne Schnittpunkt $x$ der Tangente mit der $x$-Achse als Näherung der Nullstelle.
 Dazu wird die Tangentengleichung $0$ gesetzt, um den Schnittpunkt mit der $x$-Achse als Näherungswert
der Nullstelle zu berechnen:
\begin{eqnarray}
  0 & = & f'(a)(x-a)+f(a)\\
  \Leftrightarrow x & = & a-\frac{f(a)}{f'(a)}
\end{eqnarray}
Diese Formel zur Berechnung des Näherunswertes der Nullstelle wird
formuliert als sog. Iterationsfunktion des Newtonverfahrens lautet:
\begin{equation}
  g(x):=x-\frac{f(x)}{f'(x)}
\end {equation}

\item Wenn die Genauigkeit nicht ausreicht: Setze $a=x$ und wiederhole
Schritt 2 und 3. Das heißt unter Verwendung der Iterationsfunktion:
setze $g(x)$ als $x$ in $g(x)$ ein (Iterieren). Auf diese Weise nähert man sich dem tatsächlichen Wert immer mehr an.
\end{enumerate}


Beispiel:

Gegeben sie dieFunktion $f(x) = x^2-\sin x$


Berechnen Sie die Newton-Iteration zur Berechnung von Nullstellen von $f(x)$.
\begin{enumerate}
  \item f'(x) berechnen:

  \begin {equation}
    f'(x) = 2x - \cos x
  \end {equation}
  \item Berechnung der Newton-Iterationsfunktion

  \begin {eqnarray}
    g(x) & = & x-\frac{f(x)}{f'(x)}\\
         & = & x-\frac{x^2 - \sin x}{2x - \cos x}\\
         & = & \frac{x\cdot \left ( 2x- \cos x\right )}{2x - \cos} - \frac{x^2 - x \sin x}{2x - \cos x}\\
         & = & \frac{2x^2 - x\cos x - x^2 + \sin x}{2x - \cos x}\\
         & = & \underline{\underline{\frac {x^2 - x\cos x + \sin x}{2x - \cos x}}}
  \end {eqnarray}
\end{enumerate}





\section{Simpsonverfahren}
\label{sec:Simpsonverfahren}

\index{Numerische Integration!Simpsonverfahren}\index{Simpsonverfahren!Numerische Integration}


Beispiel:

Berechnen Sie für $n=4$ mittels Simpsonverfahren unter Verwendung es aus den Übungen bekannten Schemas
das bestimmten Integrals $S=\int_2^4\sqrt{1+\cos^2t}\;dt$ (Ergebnisse und Zwischenerkenntnisse mit $4$ Nachkommastellen.)

\bigskip

\begin{tabular}{|r|r|r|r|r|}
\hline $i$ & $x_i$ & $Y_0$ und $Y_4$ & $Y_i$ ( i ungerade ) & $Y_i$ ( i gerade ) \\
\hline 0 & 2 & 1,0831 &  &  \\
\hline 1 & 2,5 &  & 1,2813 &  \\
\hline 2 & 3 &  &  & 1,4072 \\
\hline 3 & 3,5 &  & 1,3700 &  \\
\hline 4 & 4 & 2,2778 &  & 1,4072 \\
\hline  &  &  & 2,6513 &  \\
\hline  &  &  & 10,6052 & 2,8143 \\
\hline
\end{tabular}


\bigskip


\begin{equation}
  \alpha = 2,2778;\ \beta = 10,6052;\ \gamma = 2,8143
\end {equation}

\begin{eqnarray}
  \alpha + \beta +\gamma & = & 15,6973\\
  \Rightarrow  S & = & \frac{h}{3}\cdot \left ( \alpha + \beta + \gamma\right )\\
  & = & \underline{\underline{2,6162}}
\end{eqnarray}


\underline {\underline{Wichtig!!!}} $\rightarrow$ Bei der Berechnung der Werte den Taschenrechner auf \underline {RAD} stellen!!!

Berechnung der Werte am Beispiel von $Y_0$:

\begin{eqnarray}
  t & = & 2\\
  Y_0 & = & \sqrt{1+\cos^22}\;dt\\
  Y_0 & = & \underline{\underline{1,0831}}
\end{eqnarray}





%            ####################### Integrationsverfahren ##########################




\chapter{Berechnung eines Flächeninhalts der von zwei Kurven einsgeschlossen wird.}
\label{chp:BerechnungEinesFlaecheninhaltsDerVonZweiKurvenEinsgeschlossenWird}


Beispiel:

Berechnen Sie den Flächeninhalt des von den beiden Kurven $f(x) = x^3 + x^2 - x$ und $g(x)=2x^2 + x$ eingeschlossenen Bereichs. Das Ergebnis ist als rationale Zahl anzugeben.

\begin{eqnarray}
  f(x) & = & g(x)\\
  f(x) - g(x) & = & x^3 - x^2 - 2x\\
  & = & 0\\
  \Rightarrow \ 0 & = & x (x^2 - x -2)\\
  \Rightarrow \ x_1 & = & 0;\\
  x_{2/3} & = & \frac{1}{2}\pm \sqrt{\frac{1}{4} + 2}\\
  & = & \frac{1}{2} \pm \frac{3}{2}\\
  \Rightarrow x_2 & = & \underline{\underline{-1}}\\
  \Rightarrow x_3 & = & \underline{\underline{2}}
\end{eqnarray}





\chapter{Relative Extrema}
\label{chp:RelativeExtrema}

\index{Relative Extrema}

\begin{enumerate}
  \item $\Delta \left (x_0,\; y_0\right )>\Rightarrow$ bei $\left (x_0,\; y_0\right  )$ rel. EW und zwar
  \begin{enumerate}
    \item rel. Max, wenn $f_{xx} \left ( x_0,\; Y_0\right )<0$ oder $\left [f_{YY}\right ]<0$
    \item rel. Min, wenn $f_{xx} \left ( x_0,\; Y_0\right )>0$ oder $\left [f_{YY}\right ]>0$
  \end{enumerate}
  \item $\Delta\left ( x_0,\; Y_0\right )<0\Rightarrow $ bei $\left ( x_0,\; Y-0\right )$ kein EW, sondern Sattelunkt
  \item $\Delta\left ( x_0,\; Y_0\right )=0\Rightarrow $ bei $\left ( x_0,\; Y-0\right )$ rel. EW, oder nicht, weitere Untersuchung nötig.
\end{enumerate}





\chapter{Tangentialebene}
\label{chp:Tangentialebene}

\index{Tangentialebene}


\begin{equation}\left
  \begin{array}{cccc}
    I: & x = x_0 + \lambda & \Rightarrow & \lambda = x-x_0\\
    II: & Y = Y-0 + \mu & \Rightarrow & \mu = Y - Y_0
  \end{array}\right \}
  in\ III:\ einsetzen
\end{equation}
\begin{equation}
    III: \  Z = Z_0 + \lambda f_{(x)} \left (x_0,\; Y_0\right ) + \mu f_{(Y)}\left (x_0,\;Y_0\right )
\end{equation}





\chapter{Lineare Differentialgleichungen}
\label{chp:LineareDifferentialgleichungen}


\index{Lineare Differentalgleichung}
\index{Lineare Differentalgleichung!Trennung der Variablen}
\index{Trennung der Variablen!Lineare Differentalgleichung}
\index{Lineare Differentalgleichung!Quatieren}
\index{Quatrieren!Lineare Differentalgleichung}
\index{Lineare Differentalgleichung!Auflösen}
\index{Auflösen!Lineare Differentalgleichung}


\begin{enumerate}
  \item Trennung der Variablen
        \begin{equation}
          \frac{1}{Y}\; dy = x\; dx
        \end{equation}
  \item Quatrieren
        \begin{equation}
          \ln\left |Y\right | = \frac{x^2}{2} + C
        \end{equation}
  \item Auflösen
        \begin{eqnarray}
          e^{\ln \left | Y\right |} & = & e ^{\frac{x^2}{2}+C}\\
          \Rightarrow \left | Y\right | & = & e^{\frac{x^2}{2}+C}\\
          Y & = & e^C \cdot e^{\frac{x^2}{2}}\\
          Y & = & K\cdot e^{\frac{x^2}{2}}\ \ \ \Rightarrow K \in \mathbb{R}
        \end{eqnarray}
\end{enumerate}


Beispiel:




\chapter{Bogenlänge, Mantelflche, Rotationvolumen von Drehk"orpern}
\label{chp:BogenlaengeMantelflaecheRotationskoerperVonDrehkoerpern}


\index{Drehkörper}

\index{Bogenlänge}
\index{Mantelfläche}
\index{Rotationsvolumen}

\index{Drehkörper}

\index{Bogenlänge!Drehkörper}
\index{Mantelfläche!Drehkörper}
\index{Rotationsvolumen!Drehkörper}


\index{Drehkörper}
\index{Rotationskörper}

\index{Drehkörper!Bogenlänge}
\index{Drehkörper!Mantelfläche}
\index{Drehkörper!Rotationsvolumen}

\index{Rotationskörper!Bogenlänge}
\index{Rotationskörper!Mantelfläche}
\index{Rotationskörper!Rotationsvolumen}

\index{Bogenlänge!Rotationskörper}
\index{Mantelfläche!Rotationskörper}
\index{Rotationsvolumen!Rotationskörper}



\section{Bogenlänge von Rotationskörpern (Parameterform)}
\label{sec:BogenlaengeVonRotationskoerpernParameterform}





\begin{enumerate}
  \item Tangente in Parameterform

  \index{Tangente in Parameterform}

    \begin {equation}
      \left (
        \begin{array}{c}
          x\\
          Y
        \end{array}
      \right )
    =
      \left (
        \begin{array}{c}
           x\left ( t \right )\\
           Y\left ( t \right )
        \end{array}
      \right )
    + \lambda \cdot
     \left (
       \begin{array}{c}
         x\left ( t\right )\\
         Y\left ( t\right )
       \end{array}
     \right )
      \ \ \ \lambda \in \mathbb{R}
    \end{equation}

    \item Tangente Parameterfrei
      \begin{equation}
        \frac{Y - Y\left (t\right )}{x-x\left )t\right )} = \frac{Y\left (t \right )}{x\left (t \right )}
      \end{equation}
    \item Normale in Parameterform
      \begin{equation}
        \left (
          \begin{array}{c}
            x\\
            Y
          \end{array}
        \right )
      =
        \left (
          \begin{array}{c}
            x\left ( t \right )\\
            Y\left ( t \right )
          \end{array}
        \right )
      +\mu \cdot
        \left (
          \begin{array}{c}
            -Y\left ( t \right )\\
            x\left ( t \right )
          \end{array}
        \right )
      \ \ \ \ \mu \in \mathbb{R}
      \end{equation}
    \item Normale Parameterfrei
      \begin{equation}
        \frac{Y-Y\left ( t \right )}{x-x\left ( t \right )} = \frac{-x\left ( t \right )}{Y \left ( t\right )}
      \end{equation}
\end{enumerate}





\section{Rotationsvolumen um die x-Achse (Parameterform)}
\label{sec:RotationsvolumenUmDieX-AchseParameterform}

\index{Drehkörper}

\index{Bogenlänge}
\index{Mantelfläche}
\index{Rotationsvolumen}

\index{Drehkörper}

\index{Bogenlänge!Drehkörper}
\index{Mantelfläche!Drehkörper}
\index{Rotationsvolumen!Drehkörper}


\index{Drehkörper}
\index{Rotationsvolumen um die x-Achse (Parameterform)}

\index{Drehkörper!Bogenlänge}
\index{Drehkörper!Mantelfläche}
\index{Drehkörper!Rotationsvolumen}

\index{Rotationsvolumen um die x-Achse (Parameterform)!Bogenlänge}
\index{Rotationsvolumen um die x-Achse (Parameterform)!Mantelfläche}
\index{Rotationsvolumen um die x-Achse (Parameterform)!Rotationsvolumen}

\index{Bogenlänge!Rotationsvolumen um die x-Achse (Parameterform)}
\index{Mantelfläche!Rotationsvolumen um die x-Achse (Parameterform)}
\index{Rotationsvolumen!Rotationsvolumen um die x-Achse (Parameterform)}




\begin{equation}
  V_x = \pi \int_{t_1}^{t_2}Y\left (t \right )\cdot \stackrel{\cdot}{x}\left ( t\right )\; dt
\end{equation}






\section{Rotationsvolumen um die Y-Achse (Parameterform)}
\label{sec:RotationsvolumenUmDieY-AchseParameterform}

\index{Drehkörper}

\index{Bogenlänge}
\index{Mantelfläche}
\index{Rotationsvolumen}

\index{Drehkörper}

\index{Bogenlänge!Drehkörper}
\index{Mantelfläche!Drehkörper}
\index{Rotationsvolumen!Drehkörper}


\index{Drehkörper}
\index{Rotationsvolumen um die Y-Achse (Parameterform)}

\index{Drehkörper!Bogenlänge}
\index{Drehkörper!Mantelfläche}
\index{Drehkörper!Rotationsvolumen}

\index{Rotationsvolumen um die Y-Achse (Parameterform)!Bogenlänge}
\index{Rotationsvolumen um die Y-Achse (Parameterform)!Mantelfläche}
\index{Rotationsvolumen um die Y-Achse (Parameterform)!Rotationsvolumen}

\index{Bogenlänge!Rotationsvolumen um die Y-Achse (Parameterform)}
\index{Mantelfläche!Rotationsvolumen um die Y-Achse (Parameterform)}
\index{Rotationsvolumen!Rotationsvolumen um die Y-Achse (Parameterform)}



\begin{equation}
  V_Y = \pi \int_{t_1}^{t_2}x\left ( t \right )^2 \cdot \stackrel{\cdot}{Y} \left ( t \right )\;dt
\end{equation}

\section{Mantelfläche eines Drehkörpers}

\section{Rotationsvolumen um die x-Achse (Parameterform)}
\label{sec:RotationsvolumenUmDieX-AchseParameterform}

\index{Drehkörper}

\index{Bogenlänge}
\index{Mantelfläche}
\index{Rotationsvolumen}

\index{Drehkörper}

\index{Bogenlänge!Drehkörper}
\index{Mantelfläche!Drehkörper}
\index{Rotationsvolumen!Drehkörper}


\index{Drehkörper}
\index{Mantelfläche eines Drehkörpers}

\index{Drehkörper!Bogenlänge}
\index{Drehkörper!Mantelfläche}
\index{Drehkörper!Rotationsvolumen}

\index{Mantelfläche eines Drehkörpers!Bogenlänge}
\index{Mantelfläche eines Drehkörpers!Mantelfläche}
\index{Mantelfläche eines Drehkörpers!Rotationsvolumen}

\index{Bogenlänge!Mantelfläche eines Drehkörpers}
\index{Mantelfläche!Mantelfläche eines Drehkörpers}
\index{Rotationsvolumen!Mantelfläche eines Drehkörpers}



Drehung um die x-Achse

\begin{equation}
  O = 2 \pi \int_{t_1}{t_2} \cdot Y\left ( t \right ) \cdot \sqrt{\stackrel{ \cdot}{x}\left ( t \right )^2 + \stackrel{ \cdot}{Y} \left ( t \right )^2} \; dt
\end {equation}




\section{Krümmung (in Parameterform)}


\index{Drehkörper}

\index{Bogenlänge}
\index{Mantelfläche}
\index{Rotationsvolumen}

\index{Drehkörper}

\index{Bogenlänge!Drehkörper}
\index{Mantelfläche!Drehkörper}
\index{Rotationsvolumen!Drehkörper}


\index{Drehkörper}
\index{Krümmung (in Parameterform)}

\index{Drehkörper!Bogenlänge}
\index{Drehkörper!Mantelfläche}
\index{Drehkörper!Rotationsvolumen}

\index{Krümmung (in Parameterform)!Bogenlänge}
\index{Krümmung (in Parameterform)!Mantelfläche}
\index{Krümmung (in Parameterform)!Rotationsvolumen}

\index{Bogenlänge!Krümmung (in Parameterform)}
\index{Mantelfläche!Krümmung (in Parameterform)}
\index{Rotationsvolumen!Krümmung (in Parameterform)}


\begin{equation}
  K\left ( t\right ) = \frac{\stackrel{\cdot\cdot}{x}\stackrel{\cdot}{x} - \stackrel{\cdot}{Y}\stackrel{\cdot\cdot}{x}}{\sqrt{\stackrel{\cdot}{x}^2 + \stackrel{\cdot}{Y}^2}^3}\ \ \ mit\ x\neq 0\ oder\ \stackrel{\cdot}{Y} \neq 0
\end{equation}


\section{Rotationsvolumen eines Körpers um die x-Achse}


\index{Drehkörper}

\index{Bogenlänge}
\index{Mantelfläche}
\index{Rotationsvolumen}

\index{Drehkörper}

\index{Bogenlänge!Drehkörper}
\index{Mantelfläche!Drehkörper}
\index{Rotationsvolumen!Drehkörper}


\index{Drehkörper}
\index{Rotationsvolumen eines Körpers um die x-Achse}

\index{Drehkörper!Bogenlänge}
\index{Drehkörper!Mantelfläche}
\index{Drehkörper!Rotationsvolumen}

\index{Rotationsvolumen eines Körpers um die x-Achse!Bogenlänge}
\index{Rotationsvolumen eines Körpers um die x-Achse!Mantelfläche}
\index{Rotationsvolumen eines Körpers um die x-Achse!Rotationsvolumen}

\index{Bogenlänge!Rotationsvolumen eines Körpers um die x-Achse}
\index{Mantelfläche!Rotationsvolumen eines Körpers um die x-Achse}
\index{Rotationsvolumen!Rotationsvolumen eines Körpers um die x-Achse}



\begin{equation}
  V_x = \pi \cdot \int_a^b f^2\left ( x\right )\; dt = \pi \int_a^b Y^2\;dx
\end{equation}




\section{Rotationsvolumen eines Körpers um die Y-Achse}


\index{Drehkörper}

\index{Bogenlänge}
\index{Mantelfläche}
\index{Rotationsvolumen}

\index{Drehkörper}

\index{Bogenlänge!Drehkörper}
\index{Mantelfläche!Drehkörper}
\index{Rotationsvolumen!Drehkörper}


\index{Drehkörper}
\index{Rotationsvolumen eines Körpers um die Y-Achse}

\index{Drehkörper!Bogenlänge}
\index{Drehkörper!Mantelfläche}
\index{Drehkörper!Rotationsvolumen}

\index{Rotationsvolumen eines Körpers um die Y-Achse!Bogenlänge}
\index{Rotationsvolumen eines Körpers um die Y-Achse!Mantelfläche}
\index{Rotationsvolumen eines Körpers um die Y-Achse!Rotationsvolumen}

\index{Bogenlänge!Rotationsvolumen eines Körpers um die Y-Achse}
\index{Mantelfläche!Rotationsvolumen eines Körpers um die Y-Achse}
\index{Rotationsvolumen!Rotationsvolumen eines Körpers um die Y-Achse}


Die Grenzen von oben einsetzen in $Y = \Rightarrow $ neue Grenzen (aus Aufgabe)

\begin{equation}
  V_Y = \pi \cdot \int_a^b g^2\left ( Y\right )\; dt = \pi \int_a^b x^2\;dx
\end{equation}



\section{Bogenläge einer Kurve}


\index{Drehkörper}

\index{Bogenlänge}
\index{Mantelfläche}
\index{Rotationsvolumen}

\index{Drehkörper}

\index{Bogenlänge!Drehkörper}
\index{Mantelfläche!Drehkörper}
\index{Rotationsvolumen!Drehkörper}


\index{Drehkörper}
\index{Bogenläge einer Kurve}

\index{Drehkörper!Bogenlänge}
\index{Drehkörper!Mantelfläche}
\index{Drehkörper!Rotationsvolumen}

\index{Bogenläge einer Kurve!Bogenlänge}
\index{Bogenläge einer Kurve!Mantelfläche}
\index{Bogenläge einer Kurve!Rotationsvolumen}

\index{Bogenlänge!Bogenläge einer Kurve}
\index{Mantelfläche!Bogenläge einer Kurve}
\index{Rotationsvolumen!Bogenläge einer Kurve}


\begin{equation}
  S = \int_a^b \sqrt{1 + \left ( f'\left ( x \right )\right )^2} \; dx
\end{equation}





\section{Mantelfläche eines Körpers}


\index{Drehkörper}

\index{Bogenlänge}
\index{Mantelfläche}
\index{Rotationsvolumen}

\index{Drehkörper}

\index{Bogenlänge!Drehkörper}
\index{Mantelfläche!Drehkörper}
\index{Rotationsvolumen!Drehkörper}


\index{Drehkörper}
\index{Mantelfläche eines Körpers}

\index{Drehkörper!Bogenlänge}
\index{Drehkörper!Mantelfläche}
\index{Drehkörper!Rotationsvolumen}

\index{Mantelfläche eines Körpers!Bogenlänge}
\index{Mantelfläche eines Körpers!Mantelfläche}
\index{Mantelfläche eines Körpers!Rotationsvolumen}

\index{Bogenlänge!Mantelfläche eines Körpers}
\index{Mantelfläche!Mantelfläche eines Körpers}
\index{Rotationsvolumen!Mantelfläche eines Körpers}


\begin{equation}
  O = 2 \pi \int_a^b f\left ( x\right )\sqrt{1 + \left ( f'\left ( x \right )\right )^2} \; dx
\end{equation}






\chapter{Kreis, Elipse, Hyperbel, Parabel}

Ursprungsform $\Rightarrow $ Hauptform

\section{Kreis}
\index{Kreis}

\begin{eqnarray}
  x^2 + Y^2 & = & R^2\\
  \Rightarrow \left ( x - x_0 \right ) + \left ( Y - Y_0 \right ) & = & R^2
\end {eqnarray}

\section{Ellypse}


\begin{eqnarray}
  \frac{x^2}{a^2} + \frac{Y^2}{b^2} & = & 1\\
  \Rightarrow  \frac{\left ( x- x_0\right )^2}{a^2} + \frac{\left ( Y - Y_0\right )^2}{b^2} & = & 1
\end{eqnarray}

Beispiel:

\begin{eqnarray}
  \frac{x^2}{a^2} + \frac{Y^2}{b^2} & = & 1\\
  \Rightarrow  \frac{\left ( x- 5\right )^2}{6} + \frac{\left ( Y + 4\right )^2}{4} & = & 1\\
  M & = & \left ( 5; -4\right )\\
  a = \sqrt{6}& & b = \sqrt{4} = 2
\end{eqnarray}



\section{Hyperbel}

\begin{eqnarray}
  \frac{x^2}{a^2} - \frac{Y^2}{b^2} & = & 1\\
  \Rightarrow \frac{ \left ( x-x_0\right ) }{a^2} - \frac{ \left ( Y - Y_0 \right ) ^2}{b^2} & = & 1
\end{eqnarray}





\section{Parabel}
\index{Parabel}


\begin{eqnarray}
  Y^2 & = & 2px\\
  \Rightarrow \left ( Y-Y_0\right )^2 & = & 2p\left (x-x_0\right )
\end{eqnarray}













\chapter{Anfangswertproblem}



Lösen Sie das Anfangswertproblem





\printindex
\end{document}