Woran liegt es, dass die Rechtschreibprüfung in LyX nicht richtig funktioniert, d.h. sie behält keine Wörter im persönlcihen Wörterbuch und akzeptiert keine Wörter mit Umlauten?

Es sind folgende Einstellungen in der Datei ~/.lyx/lyxrc nötig:

use_personal_dictionary true
use_input_encoding true

Dann akzeptiert der von LyX standardmäßig verwendete Spellchecker ispell auch internationale Zeichen und verwendet das persönliche Wörterbuch.